ما الذي تحسبه هذه الأداة
تحسب هذه الأداة هندسة القطاع الأسطواني: وهو المُجسَّم الناتج عن قطع أسطوانة دائرية قائمة موضوعة أفقياً (مستلقية) بمستوٍ أفقي. وهذا تماماً هو شكل السائل المستقر داخل خزان أفقي معبّأ حتى عمق h. انطلاقاً من نصف القطر r، وارتفاع التعبئة h (مقاساً صعوداً من أخفض نقطة في الدائرة)، وطول الأسطوانة l، تُعطيك الأداة الحجم V، ومساحة المقطع العرضي الطرفي F، ومساحة القاعدة المقوسة (القوس) S، ومساحة السطح العلوي المستوي T.
طريقة الاستخدام
أدخل نصف القطر وارتفاع التعبئة والطول المحوري باستخدام وحدة طول واحدة (يجب أن تشترك القيم الثلاث في الوحدة نفسها). يجب أن يقع الارتفاع بين 0 و\(2r\) — وعند \(h = 2r\) تكون الأسطوانة ممتلئة بالكامل. تُعطى المساحات بالوحدة² والحجم بالوحدة³. لا يُطبَّق أي تحويل للوحدات، لذا تَرِث المخرجات ببساطة الوحدة نفسها التي استخدمتها للمدخلات.
شرح المعادلة
يقطع الوتر الأفقي قطاعاً دائرياً ارتفاعه \(h\). والزاوية المركزية هي $$\theta = 2\cdot\arccos\!\left(1 - \frac{h}{r}\right).$$ أما نصف طول الوتر فهو \(\sqrt{h(2r-h)}\). ومساحة القطاع هي $$F = \frac{\theta}{2}r^{2} - (r-h)\sqrt{h(2r-h)}$$ — أي مساحة القطاع الدائري ناقص مساحة المثلث. وبسحب هذه المساحة على طول الأسطوانة نحصل على \(V = F\cdot l\). أما سطح القاعدة المقوس فهو طول القوس \(r\theta\) مضروباً في \(l\)، والسطح العلوي المستوي هو الوتر \(2\sqrt{h(2r-h)}\) مضروباً في \(l\).
مثال محلول
عند \(r = 1\) و \(h = 0.5\) و \(l = 2\): نجد \(1 - h/r = 0.5\)، ومن ثَمّ $$\theta = 2\cdot\arccos(0.5) = 2.0943951 \text{ راديان}.$$ ونصف الوتر هو \(\sqrt{0.75} = 0.8660254\). وبالتالي $$F = 1.0471976 - 0.5\cdot 0.8660254 = 0.6141848 \text{ وحدة}^2,$$ و \(V = F\cdot 2 = 1.2283697\) وحدة³، و \(S = 1\cdot 2.0943951\cdot 2 = 4.1887902\) وحدة²، و \(T = 2\cdot 2\cdot 0.8660254 = 3.4641016\) وحدة².
الأسئلة الشائعة
هل F هي الحجم أم مساحة؟ القيمة F هي مساحة المقطع العرضي الطرفي ثنائي الأبعاد (القطاع)؛ اضربها في الطول \(l\) للحصول على الحجم \(V\).
ماذا يحدث عند h = 2r؟ تكون الأسطوانة ممتلئة: \(\theta = 2\pi\)، و \(F = \pi r^{2}\)، و \(V = \pi r^{2} l\)، و \(S = 2\pi r l\)، و \(T = 0\) لأن الوتر يتقلص حتى يصبح نقطة.
هل يمكنني استخدام البوصة أو السنتيمتر أو المتر؟ نعم — استخدم أي وحدة شئت، فقط حافظ على اتساقها عبر المدخلات الثلاثة؛ وستعود المخرجات بتلك الوحدة مربّعةً ومكعّبةً.
