Qu'est-ce que la fonction de détente de Prandtl-Meyer ?
La fonction de Prandtl-Meyer \(\nu(M)\) décrit l'angle dont tourne un écoulement supersonique lorsqu'il se détend de façon isentropique (c'est-à-dire sans pertes) autour d'un coin convexe. À mesure que l'écoulement accélère de Mach 1 jusqu'à un nombre de Mach \(M\) supérieur, il s'incurve à travers un faisceau de détente. La fonction donne l'angle total de déviation correspondant à cette accélération. Elle constitue un pilier de la dynamique des gaz compressibles et intervient dans la conception des tuyères, l'étude des profils supersoniques et la méthode des caractéristiques.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez le nombre de Mach \(M\) (qui doit être supérieur ou égal à 1, la fonction n'étant définie que pour un écoulement supersonique) ainsi que le rapport des chaleurs spécifiques \(\gamma\) du gaz. Pour l'air, \(\gamma \approx 1{,}4\). Lancez le calcul pour obtenir \(\nu(M)\) en degrés, la même valeur en radians, ainsi que l'angle de Mach \(\mu\). Pour connaître la déviation entre deux nombres de Mach, calculez \(\nu\) pour chacun, puis faites la différence.
La formule expliquée
L'équation s'écrit $$\nu(M) = \sqrt{\frac{\gamma+1}{\gamma-1}}\;\arctan\!\sqrt{\frac{\gamma-1}{\gamma+1}\,(M^{2}-1)} \;-\; \arctan\!\sqrt{M^{2}-1}.$$ Le premier terme en arctan met à l'échelle la rotation selon les propriétés du gaz, tandis que le second retranche la contribution géométrique liée à l'onde de Mach. Le résultat est exprimé en radians ; cet outil le multiplie par \(180/\pi\) pour obtenir des degrés. À \(M=1\), \(\nu=0\) ; la fonction croît de façon monotone et tend vers un maximum d'environ \(130{,}45^\circ\) pour \(\gamma=1{,}4\) lorsque \(M\to\infty\).
Exemple résolu
Pour \(M = 2{,}0\) et \(\gamma = 1{,}4\) : \(M^2-1 = 3\), rapport \(= (2{,}4)/(0{,}4) = 6\). Premier terme $$= \sqrt{6} \cdot \arctan\!\sqrt{3/6} = 2{,}4495 \cdot \arctan(0{,}7071) = 2{,}4495 \cdot 0{,}61548 = 1{,}50762 \text{ rad}.$$ Deuxième terme $$= \arctan\!\sqrt{3} = \arctan(1{,}7321) = 1{,}04720 \text{ rad}.$$ $$\nu = 1{,}50762 - 1{,}04720 = 0{,}46042 \text{ rad} = 26{,}380^\circ.$$ L'angle de Mach $$\mu = \arcsin(0{,}5) = 30^\circ.$$
FAQ
Pourquoi \(M\) doit-il être au moins égal à 1 ? Le faisceau de détente et les termes en \(\sqrt{M^{2}-1}\) n'existent qu'en écoulement supersonique. En dessous de \(M=1\), la fonction n'est pas définie.
Quel est l'angle de déviation maximal ? Pour l'air (\(\gamma=1{,}4\)), la limite lorsque \(M\to\infty\) vaut \(\nu_{\max} = (\sqrt{6} - 1)\cdot 90^\circ \approx 130{,}45^\circ\) : c'est le plus grand angle dont un écoulement pourrait théoriquement tourner en se détendant jusqu'au vide.
Comment déterminer le nombre de Mach en aval pour une déviation donnée ? Ajoutez l'angle de déviation à la valeur de \(\nu\) en amont, puis inversez numériquement la fonction pour obtenir le nouveau \(M\).
