什么是普朗特-迈耶膨胀函数？
普朗特-迈耶函数 \(\nu(M)\) 描述了超音速气流绕过凸角作等熵膨胀（无损失）时所偏转的角度。当气流从马赫数 1 加速到更高的马赫数 \(M\) 时，它会通过一个膨胀扇形区发生偏转。该函数给出了这一加速过程对应的累计偏转角。它是可压缩气体动力学的基石之一，广泛应用于喷管设计、超音速翼型以及特征线法求解中。
如何使用本计算器
输入马赫数 \(M\)（必须大于等于 1，因为该函数仅在超音速流动下才有定义）以及气体的比热比 \(\gamma\)。对于空气，\(\gamma \approx 1.4\)。点击计算即可得到以度为单位的 \(\nu(M)\)、对应的弧度值，以及马赫角 \(\mu\)。若想求两个马赫数之间的气流偏转角，可分别计算各自的 \(\nu\) 值后相减即可。
公式详解
方程为
$$\nu(M) = \sqrt{\frac{\gamma+1}{\gamma-1}}\;\arctan\!\sqrt{\frac{\gamma-1}{\gamma+1}\cdot(M^{2}-1)} \;-\; \arctan\!\sqrt{M^{2}-1}$$第一个 arctan 项通过气体属性因子对旋转量进行缩放，第二项则扣除几何马赫波的贡献。计算结果以弧度为单位；本工具会乘以 \(180/\pi\) 转换为角度。当 \(M=1\) 时，\(\nu=0\)；该函数随马赫数单调上升，当 \(M\to\infty\) 时，对于 \(\gamma=1.4\) 趋近于约 130.45° 的极大值。
计算实例
设 \(M = 2.0\)、\(\gamma = 1.4\)：\(M^{2}-1 = 3\)，比值 \(= \frac{2.4}{0.4} = 6\)。第一项
$$\sqrt{6} \cdot \arctan\!\sqrt{\tfrac{3}{6}} = 2.4495 \cdot \arctan(0.7071) = 2.4495 \cdot 0.61548 = 1.50762 \text{ 弧度}$$第二项
$$\arctan(\sqrt{3}) = \arctan(1.7321) = 1.04720 \text{ 弧度}$$$$\nu = 1.50762 - 1.04720 = 0.46042 \text{ 弧度} = 26.380^{\circ}$$马赫角 \(\mu = \arcsin(0.5) = 30^{\circ}\)。
常见问题
为什么 \(M\) 必须至少为 1？膨胀扇形区和 \(\sqrt{M^{2}-1}\) 各项只在超音速流动中才存在。当 \(M\) 小于 1 时，该函数没有定义。
最大偏转角是多少？对于空气（\(\gamma=1.4\)），当 \(M\to\infty\) 时的极限为 \(\nu_{\max} = (\sqrt{6} - 1)\cdot 90^{\circ} \approx 130.45^{\circ}\)，这是气流在理论上膨胀至真空时所能偏转的最大角度。
已知偏转角，如何求下游马赫数？将偏转角加到上游的 \(\nu\) 值上，再对该函数进行数值反解，即可得到新的马赫数 \(M\)。
