ما هي دالة تمدد براندتل-ماير؟
تصف دالة براندتل-ماير \(\nu(M)\) مقدار انحراف التدفق فوق الصوتي عندما يتمدد بشكل أيزنتروبي (أي دون خسائر) حول زاوية محدّبة. فمع تسارع التدفق من ماخ 1 إلى عدد ماخ أعلى \(M\)، ينحني عبر مروحة تمدد. وتعطي الدالة زاوية الانحراف الكلية المرافقة لهذا التسارع. وتُعدّ هذه الدالة حجر الأساس في ديناميكا الغازات القابلة للانضغاط، إذ تُستخدم في تصميم الفوهات، والأجنحة فوق الصوتية، وحلول طريقة الخطوط المميزة (method of characteristics).
كيفية استخدام الحاسبة
أدخِل عدد ماخ \(M\) (يجب أن يكون 1 أو أكبر، لأن الدالة معرّفة فقط للتدفق فوق الصوتي) ونسبة الحرارة النوعية \(\gamma\) للغاز. وبالنسبة للهواء تكون \(\gamma \approx 1.4\). اضغط على زر الحساب لتحصل على \(\nu(M)\) بالدرجات، والقيمة نفسها بالراديان، إضافةً إلى زاوية ماخ \(\mu\). ولإيجاد مقدار انحراف التدفق بين عددي ماخ، احسب \(\nu\) عند كلٍّ منهما ثم اطرح القيمتين.
شرح المعادلة
المعادلة هي $$\nu(M) = \sqrt{\frac{\gamma+1}{\gamma-1}}\;\arctan\!\sqrt{\frac{\gamma-1}{\gamma+1}\cdot(M^{2}-1)} \;-\; \arctan\!\sqrt{M^{2}-1}$$ يقوم الحدّ الأول (arctan) بتحجيم مقدار الدوران بعامل خصائص الغاز، بينما يطرح الحدّ الثاني مساهمة موجة ماخ الهندسية. والناتج يكون بالراديان؛ وتضربه هذه الأداة في \(180/\pi\) للحصول عليه بالدرجات. عند \(M=1\) تكون \(\nu=0\)؛ وترتفع الدالة بشكل رتيب (متزايد) وتقترب من قيمة عظمى تبلغ نحو \(130.45°\) عندما \(\gamma=1.4\) وكلما اتجه \(M\) نحو ما لا نهاية.
مثال محلول
عند \(M = 2.0\) و\(\gamma = 1.4\): يكون \(M^{2}-1 = 3\)، والنسبة \(= (2.4)/(0.4) = 6\). الحدّ الأول \(= \sqrt{6} \cdot \arctan(\sqrt{3/6}) = 2.4495 \cdot \arctan(0.7071) = 2.4495 \cdot 0.61548 = 1.50762\) راديان. الحدّ الثاني \(= \arctan(\sqrt{3}) = \arctan(1.7321) = 1.04720\) راديان. إذن $$\nu = 1.50762 - 1.04720 = 0.46042 \text{ راديان} = 26.380°$$ أما زاوية ماخ فهي \(\mu = \arcsin(0.5) = 30°\).
الأسئلة الشائعة
لماذا يجب أن يكون \(M\) مساويًا لـ 1 على الأقل؟ لأن مروحة التمدد وحدود \(\sqrt{M^{2}-1}\) لا توجد إلا في التدفق فوق الصوتي. وعندما يقلّ \(M\) عن 1 تصبح الدالة غير معرّفة.
ما هي أقصى زاوية انحراف ممكنة؟ بالنسبة للهواء (\(\gamma=1.4\))، فإن الحدّ الأقصى عندما يتجه \(M\) نحو ما لا نهاية هو \(\nu_{max} = (\sqrt{6} - 1)\cdot 90° \approx 130.45°\)، وهي أكبر زاوية يمكن للتدفق نظريًا أن ينحرفها أثناء تمدده وصولًا إلى الفراغ.
كيف أجد عدد ماخ خلف الزاوية لانحراف معطى؟ أضِف زاوية الانحراف إلى قيمة \(\nu\) في المنبع (upstream)، ثم اعكس الدالة عدديًا للحصول على قيمة \(M\) الجديدة.
