¿Qué es la función de expansión de Prandtl-Meyer?
La función de Prandtl-Meyer \(\nu(M)\) describe cuánto gira un flujo supersónico al expandirse de forma isentrópica (sin pérdidas) alrededor de una esquina convexa. A medida que el flujo se acelera desde Mach 1 hasta un número de Mach \(M\) mayor, se desvía a través de un abanico de expansión. La función proporciona el ángulo de giro acumulado correspondiente a esa aceleración. Es una pieza fundamental de la dinámica de gases compresibles y se emplea en el diseño de toberas, en perfiles supersónicos y en las soluciones por el método de las características.
Cómo usar esta calculadora
Introduce el número de Mach \(M\) (debe ser igual o mayor que 1, ya que la función solo está definida para flujo supersónico) y la relación de calores específicos \(\gamma\) del gas. Para el aire, \(\gamma \approx 1{,}4\). Pulsa calcular para obtener \(\nu(M)\) en grados, ese mismo valor en radianes y el ángulo de Mach \(\mu\). Para hallar el giro del flujo entre dos números de Mach, calcula \(\nu\) en cada uno y resta los resultados.
La fórmula explicada
La ecuación es $$\nu(M) = \sqrt{\frac{\gamma+1}{\gamma-1}}\;\arctan\!\sqrt{\frac{M^{2}-1}{\frac{\gamma+1}{\gamma-1}}} \;-\; \arctan\!\sqrt{M^{2}-1}$$ El primer término con arctan escala la rotación según el factor de propiedad del gas, y el segundo resta la contribución geométrica de la onda de Mach. El resultado se obtiene en radianes; esta herramienta lo multiplica por \(180/\pi\) para convertirlo a grados. En \(M=1\), \(\nu=0\); la función crece de forma monótona y se aproxima a un máximo de unos \(130{,}45°\) para \(\gamma=1{,}4\) cuando \(M\to\infty\).
Ejemplo resuelto
Para \(M = 2{,}0\) y \(\gamma = 1{,}4\): \(M^{2}-1 = 3\), relación \(= (2{,}4)/(0{,}4) = 6\). Primer término $$\sqrt{6} \cdot \arctan\!\sqrt{3/6} = 2{,}4495 \cdot \arctan(0{,}7071) = 2{,}4495 \cdot 0{,}61548 = 1{,}50762\ \text{rad}.$$ Segundo término \(= \arctan(\sqrt{3}) = \arctan(1{,}7321) = 1{,}04720\ \text{rad}\). $$\nu = 1{,}50762 - 1{,}04720 = 0{,}46042\ \text{rad} = 26{,}380°.$$ El ángulo de Mach \(\mu = \arcsin(0{,}5) = 30°\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué M debe ser al menos 1? El abanico de expansión y los términos con \(\sqrt{M^{2}-1}\) solo existen en flujo supersónico. Por debajo de \(M=1\) la función no está definida.
¿Cuál es el ángulo de giro máximo? Para el aire (\(\gamma=1{,}4\)) el límite cuando \(M\to\infty\) es \(\nu_{\text{máx}} = (\sqrt{6} - 1)\cdot 90° \approx 130{,}45°\), el mayor ángulo que un flujo podría girar teóricamente al expandirse hasta el vacío.
¿Cómo encuentro el número de Mach aguas abajo para un giro dado? Suma el ángulo de giro al valor de \(\nu\) aguas arriba y, a continuación, invierte la función numéricamente para obtener el nuevo \(M\).
