Hàm giãn nở Prandtl-Meyer là gì?
Hàm Prandtl-Meyer \(\nu(M)\) mô tả mức độ chuyển hướng của một dòng siêu thanh khi nó giãn nở đẳng entropy (không tổn thất) quanh một góc lồi. Khi dòng tăng tốc từ Mach 1 lên một số Mach \(M\) cao hơn, nó uốn cong qua một quạt giãn nở. Hàm này cho biết tổng góc chuyển hướng ứng với quá trình tăng tốc đó. Đây là một nền tảng của động lực học khí nén được, được dùng trong thiết kế vòi phun, cánh khí động siêu thanh và các lời giải theo phương pháp đặc trưng (method of characteristics).
Cách sử dụng máy tính
Nhập số Mach \(M\) (phải lớn hơn hoặc bằng 1, vì hàm chỉ xác định cho dòng siêu thanh) và tỉ số nhiệt dung riêng \(\gamma\) của chất khí. Với không khí, \(\gamma \approx 1{,}4\). Nhấn tính toán để nhận \(\nu(M)\) tính bằng độ, cùng giá trị đó tính bằng radian, và góc Mach \(\mu\). Để tìm góc chuyển hướng của dòng giữa hai số Mach, hãy tính \(\nu\) tại mỗi giá trị rồi lấy hiệu.
Giải thích công thức
Phương trình là
$$\nu(M) = \sqrt{\frac{\gamma+1}{\gamma-1}}\;\arctan\!\sqrt{\frac{\gamma-1}{\gamma+1}\cdot(M^{2}-1)} \;-\; \arctan\!\sqrt{M^{2}-1}$$Số hạng arctan đầu tiên co giãn góc quay theo hệ số tính chất khí, còn số hạng thứ hai trừ đi phần đóng góp hình học của sóng Mach. Kết quả tính bằng radian; công cụ này nhân với \(180/\pi\) để đổi sang độ. Tại \(M=1\), \(\nu=0\); hàm tăng đơn điệu và tiến tới giá trị cực đại khoảng \(130{,}45^\circ\) với \(\gamma=1{,}4\) khi \(M\to\infty\).
Ví dụ minh họa
Với \(M = 2{,}0\) và \(\gamma = 1{,}4\): \(M^2-1 = 3\), tỉ số \(= (2{,}4)/(0{,}4) = 6\). Số hạng thứ nhất:
$$\sqrt{6}\cdot\arctan\!\left(\sqrt{3/6}\right) = 2{,}4495 \cdot \arctan(0{,}7071) = 2{,}4495 \cdot 0{,}61548 = 1{,}50762\ \text{rad}$$Số hạng thứ hai:
$$\arctan\!\left(\sqrt{3}\right) = \arctan(1{,}7321) = 1{,}04720\ \text{rad}$$$$\nu = 1{,}50762 - 1{,}04720 = 0{,}46042\ \text{rad} = 26{,}380^\circ$$Góc Mach \(\mu = \arcsin(0{,}5) = 30^\circ\).
Câu hỏi thường gặp
Vì sao M phải tối thiểu bằng 1? Quạt giãn nở và các số hạng \(\sqrt{M^2-1}\) chỉ tồn tại trong dòng siêu thanh. Dưới \(M=1\) hàm không được xác định.
Góc chuyển hướng cực đại là bao nhiêu? Với không khí (\(\gamma=1{,}4\)) giới hạn khi \(M\to\infty\) là \(\nu_{max} = (\sqrt{6} - 1)\cdot 90^\circ \approx 130{,}45^\circ\), đây là góc lớn nhất mà về mặt lý thuyết một dòng có thể chuyển hướng khi giãn nở tới chân không.
Làm sao tìm số Mach hạ lưu cho một góc chuyển hướng cho trước? Cộng góc chuyển hướng vào \(\nu\) thượng lưu, sau đó nghịch đảo hàm bằng phương pháp số để tìm \(M\) mới.
