什麼是普朗特-邁耶膨脹函數？
普朗特-邁耶函數 \(\nu(M)\) 描述超音速氣流繞過凸角、進行等熵膨脹（無損耗）時所偏轉的角度。當氣流從馬赫 1 加速到更高的馬赫數 \(M\) 時，會通過一道膨脹扇而轉向，而此函數正好給出這段加速過程所累積的偏轉角。它是可壓縮氣體動力學的基石之一，廣泛應用於噴嘴設計、超音速翼型以及特徵線法（method of characteristics）的求解。
如何使用本計算器
請輸入馬赫數 \(M\)（必須大於或等於 1，因為此函數僅在超音速流中有定義）以及氣體的比熱比 \(\gamma\)。對於空氣，\(\gamma \approx 1.4\)。按下計算後，即可得到以度數表示的 \(\nu(M)\)、相同數值的弧度值，以及馬赫角 \(\mu\)。若想求兩個馬赫數之間的氣流偏轉量，只需分別算出各自的 \(\nu\) 值再相減即可。
公式詳解
公式為 $$\nu(M) = \sqrt{\frac{\gamma+1}{\gamma-1}}\;\arctan\!\sqrt{\frac{M^{2}-1}{\frac{\gamma+1}{\gamma-1}}} \;-\; \arctan\!\sqrt{M^{2}-1}$$第一個 arctan 項以氣體性質因子放大旋轉量，第二項則扣除幾何上的馬赫波貢獻。計算結果以弧度為單位，本工具會再乘上 \(180/\pi\) 換算為度數。當 \(M=1\) 時 \(\nu=0\)；此函數隨馬赫數單調遞增，當 \(M\to\infty\) 時，對 \(\gamma=1.4\) 而言會趨近約 \(130.45°\) 的極大值。
範例計算
以 \(M = 2.0\)、\(\gamma = 1.4\) 為例：\(M^{2}-1 = 3\)，比值 \(= (2.4)/(0.4) = 6\)。第一項 \(= \sqrt{6} \cdot \arctan(\sqrt{3/6}) = 2.4495 \cdot \arctan(0.7071) = 2.4495 \cdot 0.61548 = 1.50762\) 弧度。第二項 \(= \arctan(\sqrt{3}) = \arctan(1.7321) = 1.04720\) 弧度。\(\nu = 1.50762 - 1.04720 = 0.46042\) 弧度 \(= 26.380°\)。馬赫角 \(\mu = \arcsin(0.5) = 30°\)。
常見問題
為什麼 M 至少要等於 1？膨脹扇與 \(\sqrt{M^{2}-1}\) 項只存在於超音速流中。當 \(M\) 小於 1 時，此函數沒有定義。
最大偏轉角是多少？對於空氣（\(\gamma=1.4\)），當 \(M\to\infty\) 時極限為 \(\nu_{max} = (\sqrt{6} - 1)\cdot 90° \approx 130.45°\)，也就是氣流在理論上膨脹至真空時所能轉向的最大角度。
已知偏轉角，如何求下游馬赫數？將偏轉角加到上游的 \(\nu\) 值上，再以數值方法反推此函數，即可得到新的 \(M\)。
