Prandtl-Meyer Genleşme Fonksiyonu Nedir?
Prandtl-Meyer fonksiyonu \(\nu(M)\), süpersonik bir akışın dışbükey bir köşe etrafında izentropik (kayıpsız) olarak genleşirken ne kadar döndüğünü tanımlar. Akış, Mach 1'den daha yüksek bir \(M\) Mach sayısına hızlandıkça bir genleşme yelpazesi boyunca kıvrılır. Fonksiyon, bu hızlanma için toplam dönüş açısını verir. Sıkıştırılabilir gaz dinamiğinin temel taşlarından biridir; lüle (nozül) tasarımında, süpersonik kanat profillerinde ve karakteristikler yöntemiyle yapılan çözümlerde kullanılır.
Bu Hesaplayıcı Nasıl Kullanılır?
\(M\) Mach sayısını (fonksiyon yalnızca süpersonik akış için tanımlı olduğundan en az 1 olmalıdır) ve gazın özgül ısı oranı \(\gamma\) değerini girin. Hava için \(\gamma \approx 1.4\)'tür. Hesapla'ya tıkladığınızda \(\nu(M)\) değerini derece cinsinden, aynı değeri radyan cinsinden ve Mach açısı \(\mu\) değerini elde edersiniz. İki Mach sayısı arasındaki akış dönüşünü bulmak için her biri için \(\nu\) değerini hesaplayıp birbirinden çıkarın.
Formülün Açıklaması
Denklem şudur:
$$\nu(M) = \sqrt{\frac{\gamma+1}{\gamma-1}}\;\arctan\!\sqrt{\frac{M^{2}-1}{\frac{\gamma+1}{\gamma-1}}} \;-\; \arctan\!\sqrt{M^{2}-1}$$İlk arctan terimi, dönüşü gaz özelliği faktörüyle ölçeklendirir; ikinci terim ise geometrik Mach dalgası katkısını çıkarır. Sonuç radyan cinsindendir; bu araç dereceye çevirmek için \(180/\pi\) ile çarpar. \(M=1\) noktasında \(\nu=0\)'dır; fonksiyon monoton olarak yükselir ve \(\gamma=1.4\) için \(M\to\infty\) giderken yaklaşık \(130.45°\)'lik bir maksimuma yaklaşır.
Çözümlü Örnek
\(M = 2.0\) ve \(\gamma = 1.4\) için: \(M^{2}-1 = 3\), oran \(= (2.4)/(0.4) = 6\). İlk terim \(= \sqrt{6} \cdot \arctan(\sqrt{3/6}) = 2.4495 \cdot \arctan(0.7071) = 2.4495 \cdot 0.61548 = 1.50762\) rad. İkinci terim \(= \arctan(\sqrt{3}) = \arctan(1.7321) = 1.04720\) rad.
$$\nu = 1.50762 - 1.04720 = 0.46042 \text{ rad} = 26.380°$$Mach açısı \(\mu = \arcsin(0.5) = 30°\).
Sıkça Sorulan Sorular
M neden en az 1 olmalıdır? Genleşme yelpazesi ve \(\sqrt{M^{2}-1}\) terimleri yalnızca süpersonik akışta mevcuttur. \(M=1\)'in altında fonksiyon tanımsızdır.
Maksimum dönüş açısı nedir? Hava için (\(\gamma=1.4\)), \(M\to\infty\) giderken sınır değeri \(\nu_{\text{maks}} = (\sqrt{6} - 1)\cdot 90° \approx 130.45°\)'dir; bu, bir akışın boşluğa (vakuma) doğru genleşirken teorik olarak dönebileceği en büyük açıdır.
Belirli bir dönüş için akış aşağısındaki Mach sayısını nasıl bulurum? Dönüş açısını akış yukarısındaki \(\nu\) değerine ekleyin, ardından yeni \(M\) değerini elde etmek için fonksiyonu sayısal olarak ters çevirin.
