प्रांड्टल-मेयर एक्सपैंशन फलन क्या है?
प्रांड्टल-मेयर फलन \(\nu(M)\) यह बताता है कि जब कोई सुपरसोनिक प्रवाह किसी उत्तल कोने (कॉन्वेक्स कॉर्नर) के चारों ओर आइसेन्ट्रॉपिक रूप से (बिना किसी हानि के) फैलता है, तो वह कितना मुड़ता है। जैसे-जैसे प्रवाह मैक 1 से बढ़कर किसी अधिक मैक संख्या \(M\) तक त्वरित होता है, यह एक एक्सपैंशन फैन (विस्तार पंखे) से होकर मुड़ता है। यह फलन उस त्वरण के लिए कुल मुड़ाव कोण देता है। यह संपीड्य गैस गतिकी (कम्प्रेसिबल गैस डायनेमिक्स) का एक मूलभूत सिद्धांत है, जिसका उपयोग नोज़ल डिज़ाइन, सुपरसोनिक एयरफॉइल और मेथड-ऑफ-कैरेक्टरिस्टिक्स हल में किया जाता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
मैक संख्या \(M\) दर्ज करें (यह 1 या उससे अधिक होनी चाहिए, क्योंकि यह फलन केवल सुपरसोनिक प्रवाह के लिए ही परिभाषित है) और गैस का विशिष्ट ऊष्मा अनुपात \(\gamma\) डालें। हवा के लिए \(\gamma \approx 1.4\) होता है। गणना करें पर क्लिक करते ही आपको \(\nu(M)\) डिग्री में, वही मान रेडियन में, और मैक कोण \(\mu\) मिल जाएगा। दो मैक संख्याओं के बीच प्रवाह का मुड़ाव जानने के लिए, प्रत्येक पर \(\nu\) निकालें और उन्हें घटा दें।
सूत्र की व्याख्या
समीकरण है: $$\nu(M) = \sqrt{\frac{\gamma+1}{\gamma-1}}\;\arctan\!\sqrt{\frac{\gamma-1}{\gamma+1}\cdot(M^{2}-1)} \;-\; \arctan\!\sqrt{M^{2}-1}$$ पहला arctan पद घुमाव को गैस के गुण-कारक के अनुसार स्केल करता है, जबकि दूसरा पद ज्यामितीय मैक-वेव योगदान को घटा देता है। परिणाम रेडियन में आता है; यह टूल इसे \(180/\pi\) से गुणा करके डिग्री में बदल देता है। \(M=1\) पर \(\nu=0\) होता है; इसके बाद फलन लगातार बढ़ता जाता है और \(\gamma=1.4\) के लिए \(M\to\infty\) होने पर लगभग \(130.45°\) के अधिकतम मान के निकट पहुँचता है।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए \(M = 2.0\) और \(\gamma = 1.4\): तब \(M^{2}-1 = 3\), अनुपात \(= (2.4)/(0.4) = 6\)। पहला पद $$= \sqrt{6} \cdot \arctan(\sqrt{3/6}) = 2.4495 \cdot \arctan(0.7071) = 2.4495 \cdot 0.61548 = 1.50762 \text{ रेडियन}$$ दूसरा पद $$= \arctan(\sqrt{3}) = \arctan(1.7321) = 1.04720 \text{ रेडियन}$$ $$\nu = 1.50762 - 1.04720 = 0.46042 \text{ रेडियन} = 26.380°$$ मैक कोण $$\mu = \arcsin(0.5) = 30°$$
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
\(M\) कम से कम 1 क्यों होना चाहिए? एक्सपैंशन फैन और \(\sqrt{M^{2}-1}\) पद केवल सुपरसोनिक प्रवाह में ही अस्तित्व में रहते हैं। \(M=1\) से नीचे यह फलन अपरिभाषित होता है।
अधिकतम मुड़ाव कोण कितना होता है? हवा (\(\gamma=1.4\)) के लिए \(M\to\infty\) होने पर सीमा \(\nu_{max} = (\sqrt{6} - 1)\cdot 90° \approx 130.45°\) होती है — यह वह अधिकतम कोण है जिस तक कोई प्रवाह सैद्धांतिक रूप से निर्वात (वैक्यूम) में फैलते हुए मुड़ सकता है।
किसी दिए गए मुड़ाव के लिए डाउनस्ट्रीम मैक संख्या कैसे ज्ञात करें? मुड़ाव कोण को अपस्ट्रीम \(\nu\) में जोड़ें, फिर नई \(M\) पाने के लिए फलन को संख्यात्मक रूप से उलट दें (इन्वर्ट करें)।
