Что такое функция расширения Прандтля–Майера?
Функция Прандтля–Майера \(\nu(M)\) показывает, на какой угол поворачивает сверхзвуковой поток при изоэнтропическом (без потерь) расширении вокруг выпуклого угла. По мере того как поток разгоняется от числа Маха 1 до более высокого значения \(M\), он отклоняется в волне разрежения (веере расширения). Функция задаёт суммарный угол поворота для такого разгона. Это одно из ключевых соотношений газовой динамики сжимаемых течений: его применяют при проектировании сопел, расчёте сверхзвуковых профилей крыла и в методе характеристик.
Как пользоваться калькулятором
Введите число Маха \(M\) (оно должно быть не меньше 1, так как функция определена только для сверхзвукового потока) и показатель адиабаты \(\gamma\) для вашего газа. Для воздуха \(\gamma \approx 1{,}4\). Нажмите «Рассчитать», чтобы получить \(\nu(M)\) в градусах, то же значение в радианах и угол Маха \(\mu\). Чтобы найти угол поворота потока между двумя числами Маха, вычислите \(\nu\) для каждого из них и возьмите разность.
Разбор формулы
Уравнение выглядит так: $$\nu(M) = \sqrt{\frac{\gamma+1}{\gamma-1}}\;\arctan\!\sqrt{\frac{M^{2}-1}{\frac{\gamma+1}{\gamma-1}}} \;-\; \arctan\!\sqrt{M^{2}-1}$$ Первое слагаемое с арктангенсом масштабирует поворот через множитель, зависящий от свойств газа, а второе вычитает геометрический вклад волны Маха. Результат получается в радианах; калькулятор умножает его на \(180/\pi\) для перевода в градусы. При \(M = 1\) имеем \(\nu = 0\); далее функция монотонно растёт и при \(M \to \infty\) для \(\gamma = 1{,}4\) стремится к пределу около \(130{,}45^\circ\).
Разбор примера
Пусть \(M = 2{,}0\) и \(\gamma = 1{,}4\): \(M^{2}-1 = 3\), отношение \(= (2{,}4)/(0{,}4) = 6\). Первое слагаемое $$= \sqrt{6}\cdot\arctan(\sqrt{3/6}) = 2{,}4495\cdot\arctan(0{,}7071) = 2{,}4495\cdot 0{,}61548 = 1{,}50762\ \text{рад}.$$ Второе слагаемое $$= \arctan(\sqrt{3}) = \arctan(1{,}7321) = 1{,}04720\ \text{рад}.$$ $$\nu = 1{,}50762 - 1{,}04720 = 0{,}46042\ \text{рад} = 26{,}380^\circ.$$ Угол Маха $$\mu = \arcsin(0{,}5) = 30^\circ.$$
Частые вопросы
Почему \(M\) должно быть не меньше 1? Веер расширения и члены с \(\sqrt{M^{2}-1}\) существуют только в сверхзвуковом потоке. При \(M < 1\) функция не определена.
Каков максимальный угол поворота? Для воздуха (\(\gamma = 1{,}4\)) предел при \(M \to \infty\) равен \(\nu_{\max} = (\sqrt{6} - 1)\cdot 90^\circ \approx 130{,}45^\circ\) — это наибольший угол, на который теоретически может повернуть поток, расширяясь в вакуум.
Как найти число Маха ниже по потоку для заданного поворота? Прибавьте угол поворота к значению \(\nu\) выше по потоку, а затем численно обратите функцию, чтобы получить новое \(M\).
