프란틀-마이어 팽창 함수란?
프란틀-마이어 함수 \(\nu(M)\)는 초음속 유동이 볼록한 모서리를 돌아 등엔트로피(손실 없이) 팽창할 때 흐름이 얼마나 꺾이는지를 나타냅니다. 유동이 마하 1에서 더 높은 마하수 \(M\)까지 가속되면 팽창 팬(expansion fan)을 통과하며 휘어지는데, 이 함수는 그 가속 과정에서 누적된 꺾임각을 알려 줍니다. 압축성 기체역학의 핵심 개념으로 노즐 설계, 초음속 익형, 특성곡선법(method of characteristics) 해석 등에 두루 쓰입니다.
계산기 사용 방법
마하수 \(M\)(이 함수는 초음속 유동에서만 정의되므로 반드시 1 이상)과 기체의 비열비 \(\gamma\)를 입력하세요. 공기의 경우 \(\gamma \approx 1.4\)입니다. 계산 버튼을 누르면 도(°) 단위의 \(\nu(M)\), 동일한 값을 라디안으로, 그리고 마하각 \(\mu\)를 얻을 수 있습니다. 두 마하수 사이의 유동 꺾임각을 구하려면 각각의 \(\nu\)를 계산한 뒤 그 차를 빼면 됩니다.
공식 이해하기
식은 다음과 같습니다.
$$\nu(M) = \sqrt{\frac{\gamma+1}{\gamma-1}}\;\arctan\!\sqrt{\frac{\gamma-1}{\gamma+1}\cdot(M^{2}-1)} \;-\; \arctan\!\sqrt{M^{2}-1}$$첫 번째 arctan 항은 기체 물성 인자로 회전량을 보정하고, 두 번째 항은 기하학적인 마하파(Mach wave) 기여분을 빼 줍니다. 결과는 라디안 단위이며, 이 계산기는 \(180/\pi\)를 곱해 도(°)로 변환합니다. \(M=1\)일 때 \(\nu=0\)이고, 함수는 단조 증가하며 \(\gamma=1.4\)에서 \(M\to\infty\)일 때 약 \(130.45^\circ\)의 최댓값에 가까워집니다.
예제 풀이
\(M = 2.0\), \(\gamma = 1.4\)인 경우: \(M^{2}-1 = 3\), 비 \(= (2.4)/(0.4) = 6\)입니다. 첫째 항 \(= \sqrt{6} \cdot \arctan(\sqrt{3/6}) = 2.4495 \cdot \arctan(0.7071) = 2.4495 \cdot 0.61548 = 1.50762\ \text{rad}\). 둘째 항 \(= \arctan(\sqrt{3}) = \arctan(1.7321) = 1.04720\ \text{rad}\). 따라서 $$\nu = 1.50762 - 1.04720 = 0.46042\ \text{rad} = 26.380^\circ.$$ 마하각 \(\mu = \arcsin(0.5) = 30^\circ\)입니다.
자주 묻는 질문
왜 \(M\)이 1 이상이어야 하나요? 팽창 팬과 \(\sqrt{M^{2}-1}\) 항은 초음속 유동에서만 존재합니다. \(M=1\) 미만에서는 함수가 정의되지 않습니다.
최대 꺾임각은 얼마인가요? 공기(\(\gamma=1.4\))의 경우 \(M\to\infty\)일 때의 한계값은 \(\nu_{\max} = (\sqrt{6} - 1)\cdot 90^\circ \approx 130.45^\circ\)입니다. 이는 유동이 진공까지 팽창할 때 이론적으로 꺾일 수 있는 가장 큰 각도입니다.
주어진 꺾임각에 대한 하류 마하수는 어떻게 구하나요? 꺾임각을 상류 \(\nu\)에 더한 뒤, 그 값을 수치적으로 역산하면 새로운 \(M\)을 얻을 수 있습니다.
