プラントル・マイヤー展開関数とは？
プラントル・マイヤー関数ν(M)は、超音速流れが凸状のコーナーを回り込みながら等エントロピー的（損失なし）に膨張する際、どれだけ流れの向きが変わるかを表す関数です。流れがマッハ1からより高いマッハ数Mまで加速していくと、膨張扇（エクスパンションファン）を通って曲がっていきます。この関数は、その加速にともなう向きの変化（偏向角）の累積値を与えるものです。圧縮性気体力学の基礎となる重要な概念で、ノズル設計、超音速翼型の解析、特性曲線法（method of characteristics）による解法などに広く用いられます。
この計算ツールの使い方
マッハ数M（この関数は超音速流れに対してのみ定義されるため、1以上である必要があります）と、対象とする気体の比熱比γを入力します。空気の場合は\(\gamma \approx 1.4\)です。「計算」をクリックすると、\(\nu(M)\)を度（°）で表示するほか、同じ値をラジアンで、さらにマッハ角μも併せて出力します。2つのマッハ数間での流れの偏向角を求めたい場合は、それぞれのマッハ数でνを計算し、その差をとってください。
計算式の解説
計算式は次のとおりです。
$$\nu(M) = \sqrt{\frac{\gamma+1}{\gamma-1}}\;\arctan\!\sqrt{\frac{M^{2}-1}{\frac{\gamma+1}{\gamma-1}}} \;-\; \arctan\!\sqrt{M^{2}-1}$$第1項のarctanは、気体の物性（比熱比）に応じた係数によって回転量をスケーリングする項であり、第2項はマッハ波による幾何学的な寄与分を差し引く項です。計算結果はラジアンで得られますが、本ツールでは\(180/\pi\)を掛けて度に変換しています。\(M=1\)のとき\(\nu=0\)となり、Mが大きくなるにつれて単調に増加し、\(\gamma=1.4\)の場合は\(M\to\infty\)で約130.45°という最大値に漸近します。
計算例
M = 2.0、γ = 1.4 の場合：\(M^{2}-1 = 3\)、比 = \((2.4)/(0.4) = 6\)。
$$\text{第1項} = \sqrt{6}\cdot\arctan\!\left(\sqrt{3/6}\right) = 2.4495 \cdot \arctan(0.7071) = 2.4495 \cdot 0.61548 = 1.50762\ \text{rad}$$$$\text{第2項} = \arctan\!\left(\sqrt{3}\right) = \arctan(1.7321) = 1.04720\ \text{rad}$$よって
$$\nu = 1.50762 - 1.04720 = 0.46042\ \text{rad} = 26.380°$$マッハ角は
$$\mu = \arcsin(0.5) = 30°$$となります。
よくある質問（FAQ）
なぜMは1以上でなければならないのですか？ 膨張扇や\(\sqrt{M^{2}-1}\)の項は、超音速流れにおいてのみ存在します。M=1未満の亜音速領域ではこの関数は定義されません。
最大偏向角はいくつですか？ 空気（γ=1.4）の場合、\(M\to\infty\)での上限値は \(\nu_{\max} = (\sqrt{6} - 1)\cdot 90° \approx 130.45°\) です。これは、真空まで膨張しきった場合に理論上流れが曲がりうる最大の角度を表します。
与えられた偏向角に対する下流側のマッハ数はどう求めますか？ 偏向角を上流側のνに加え、その値に対して関数を数値的に逆算することで、新しいマッハ数Mが求められます。
