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परिणाम

हल

x ≤ 4.0

Interval notation: (-∞, 4.0]

सीमा मान	4
अंतराल	(-∞, 4.0]
दिशा कोड (1=छोटा, 0=बड़ा)	1

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल $a\cdot x + b \lesseqgtr c$ के रूप वाली एक-चर रैखिक असमिका हल करता है, जहाँ $\lesseqgtr$ का अर्थ $\le$, $<$, $\ge$ या $>$ में से कोई एक है। यह आपको सीमा मान, हल की दिशा (जैसे $x \le 4$) और उत्तर को अंतराल संकेतन में देता है, ताकि आप उसे संख्या रेखा पर आसानी से ग्राफ कर सकें।

इसका उपयोग कैसे करें

गुणांक a, अचर b दर्ज करें, संबंध (relation) चुनें और दाईं ओर का मान c भरें। फिर "गणना करें" दबाएँ। परिणाम बताएगा कि हल एक बायाँ किरण (left ray) है, दायाँ किरण (right ray) है, सभी वास्तविक संख्याएँ हैं, या कोई हल नहीं है।

सूत्र की समझ

शुरुआत करें $a\cdot x + b \lesseqgtr c$ से। दोनों पक्षों में से $b$ घटाएँ, तो मिलता है $a\cdot x \lesseqgtr c - b$। अब दोनों पक्षों को $a$ से भाग दें। सबसे अहम नियम यह है: यदि $a$ ऋणात्मक है, तो असमिका का चिह्न उलटना पड़ता है। $$\text{a}\,x + \text{b} \;\le\; \text{c} \;\Longrightarrow\; x \le \dfrac{\text{c} - \text{b}}{\text{a}}$$ इसलिए $2x + 3 \le 11$ से $x \le 4$ मिलता है, जबकि $-2x \le 6$ से $x \ge -3$ मिलता है।

संख्या रेखा जिसमें सीमा पर एक खुला वृत्त और बाईं ओर छायांकित किरण है — एक निरपेक्ष असमानता (x < मान) को खुले वृत्त और बाईं ओर इशारा करती किरण से दर्शाया गया है।

हल किया हुआ उदाहरण

हल करें $2x + 3 \le 11$। $3$ घटाएँ: $2x \le 8$। $2$ से भाग दें: $$x \le 4$$ चूँकि संबंध "से छोटा या बराबर" है, इसलिए सीमा $4$ भी शामिल होती है, और अंतराल बनता है $(-\infty, 4]$। संख्या रेखा पर $4$ पर एक भरा हुआ बिंदु बनाएँ और बाईं ओर छायांकन करें।

दो संख्या रेखाएँ जो निरपेक्ष असमानता के खुले वृत्त और समावेशी असमानता के भरे बिंदु की तुलना करती हैं — निरपेक्ष (< या >) के लिए खुला वृत्त बनाम समावेशी (≤ या ≥) के लिए भरा बिंदु।

सामान्य प्रश्न (FAQ)

चिह्न कब उलटना होता है? सिर्फ़ तभी जब आप दोनों पक्षों को किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करें — यानी यहाँ जब भी $a < 0$ हो।

यदि $a = 0$ हो तो? तब $x$ गायब हो जाता है और कथन या तो हमेशा सत्य रहता है (सभी वास्तविक संख्याएँ) या हमेशा असत्य (कोई हल नहीं), यह $b$ और $c$ पर निर्भर करता है।

खुला या बंद कोष्ठक? $\le$ और $\ge$ के लिए बंद कोष्ठक [ ] का उपयोग करें, तथा $<$ और $>$ के लिए खुला कोष्ठक ( )। अनंत (infinity) के साथ हमेशा खुला कोष्ठक ही आता है।

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