가중평균이란?
가중평균(가중 산술평균)은 모든 값을 똑같이 취급하지 않고, 각 값에 부여된 가중치만큼 비중을 두어 구하는 평균입니다. 학점 산출, 포트폴리오 수익률, 평균 단가, 설문 점수처럼 어떤 데이터가 다른 데이터보다 더 중요하게 작용하는 상황에서 폭넓게 쓰입니다.
계산기 사용 방법
첫 번째 칸에 데이터 값을 쉼표로 구분해 입력하세요(예: 80, 90, 70). 그다음 두 번째 칸에 같은 순서로 각 값에 대응하는 가중치를 입력합니다(예: 2, 3, 1). 계산기는 각 값과 가중치를 짝지어 곱한 뒤 그 곱들을 모두 더하고, 가중치의 총합으로 나눕니다. 값과 가중치의 개수가 다르면 서로 짝이 맞는 부분까지만 계산에 사용됩니다.
공식 풀이
가중평균은 다음과 같이 정의됩니다.
$$\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i} = \frac{\sum \text{Weights} \times \text{Values}}{\sum \text{Weights}}$$각 값 \(x_i\)에 그에 해당하는 가중치 \(w_i\)를 곱하고, 이 곱들을 모두 더한 값이 분자가 됩니다. 분모는 단순히 모든 가중치의 합입니다. 분자를 분모로 나누면 각 값의 상대적 중요도가 반영된 하나의 대표값이 나옵니다. 모든 가중치가 같다면 결과는 일반적인 산술평균과 동일해집니다.
예제로 보기
한 학생이 각각 2학점, 3학점, 1학점짜리 세 과목에서 80점, 90점, 70점을 받았다고 가정해 봅시다. 분자는 다음과 같습니다.
$$(2 \times 80) + (3 \times 90) + (1 \times 70) = 160 + 270 + 70 = 500$$가중치의 합은 \(2 + 3 + 1 = 6\)입니다. 따라서 가중평균은 \(500 / 6 \approx 83.33\)이며, 가장 높은 점수에 가장 큰 가중치가 실렸기 때문에 단순 평균인 80점보다 높게 나옵니다.
자주 묻는 질문
가중치 합이 1이나 100이 아니어도 되나요? 전혀 문제없습니다. 공식이 가중치의 총합으로 나누기 때문에 가중치는 양수이기만 하면 어떤 값이든 가능하며, 굳이 정규화할 필요가 없습니다.
학점(GPA) 계산에도 쓸 수 있나요? 네, 가능합니다. 각 과목의 평점(grade point)을 값으로, 학점 수(credit hour)를 가중치로 입력하면 가중평점평균을 구할 수 있습니다. (참고로 한국의 4.5 만점 GPA 체계도 동일한 가중평균 방식으로 산출됩니다.)
모든 가중치가 0이면 어떻게 되나요? 분모가 0이 되어 의미 있는 평균을 구할 수 없습니다. 이 경우 0으로 나누는 것을 막기 위해 계산기는 0을 반환합니다.
