Калькулятор угловой и линейной скорости (v = ω·r)

Формула	v = ω × r

Что делает калькулятор угловой и линейной скорости?

Этот калькулятор переводит угловую скорость вращающегося тела в линейную (тангенциальную) скорость. Любая точка вращающегося объекта движется по окружности, и её скорость зависит сразу от двух величин: насколько быстро вращается тело и как далеко эта точка расположена от оси вращения. Эту связь описывает простая формула $v = \omega \cdot r$.

Как пользоваться

Введите угловую скорость $\omega$ в радианах в секунду (рад/с) и радиус $r$ в метрах (м). Калькулятор перемножит эти значения и выдаст линейную скорость $v$ в метрах в секунду (м/с). Если угловая скорость задана в оборотах в минуту (об/мин), сначала переведите её: $$\omega = \text{об/мин} \times \frac{2\pi}{60}.$$

Разбор формулы

Формула $v = \omega \cdot r$ следует прямо из определения угловой скорости. Угловая скорость $\omega$ — это скорость изменения угла (в радианах) за секунду. За одну секунду точка описывает дугу, а её длина равна углу в радианах, умноженному на радиус. Длина этой дуги за секунду и есть линейная скорость, поэтому $v = \omega \cdot r$. Важно: чтобы формула работала напрямую, $\omega$ должна быть выражена именно в радианах в секунду.

Схема точки, движущейся по окружности: показаны радиус r, угловая скорость омега и тангенциальная скорость v — Линейная (тангенциальная) скорость $v$ равна угловой скорости $\omega$, умноженной на радиус $r$.

Пример расчёта

Пусть колесо вращается с угловой скоростью $\omega = 10$ рад/с, а точка находится на радиусе $r = 0{,}5$ м. Тогда $$v = 10 \times 0{,}5 = 5 \ \text{м/с}.$$ Точка вдвое дальше от оси ($r = 1$ м) при той же скорости вращения будет двигаться со скоростью 10 м/с — то есть вдвое быстрее. Это наглядно показывает, что линейная скорость растёт вместе с радиусом.

Частые вопросы

В каких единицах вводить данные? Используйте рад/с для $\omega$ и метры для $r$ — тогда результат получится в м/с. Согласованные единицы системы СИ дают чистый и понятный ответ.

Как перевести об/мин в рад/с? Умножьте обороты в минуту на $2\pi$ и разделите на 60. Например, 60 об/мин = 6,283 рад/с.

Подходит ли формула для любой точки вращающегося тела? Да. Просто подставьте в качестве радиуса расстояние от этой конкретной точки до оси вращения.

Ключевые термины и переменные

Угловая скорость ($\omega$, рад/с): Скорость, с которой объект вращается вокруг оси, измеряемая как угол, пройденный за единицу времени. В системе СИ она выражается в радианах в секунду. Она одинакова для всех точек на твёрдом вращающемся теле, независимо от расстояния от оси.
Линейная (тангенциальная) скорость ($v$, м/с): Мгновенная скорость точки на вращающемся теле, измеренная вдоль её круговой траектории, направленная по касательной к окружности. Она увеличивается с расстоянием от оси согласно $v = \omega \times r$, поэтому точки, расположенные дальше, движутся быстрее.
Радиус ($r$, м): Расстояние по прямой линии от оси вращения до интересующей нас точки. Больший радиус даёт большую тангенциальную скорость при одной и той же угловой скорости.
Радиан (рад): Единица угла в системе СИ, определяемая как угол, составленный в центре окружности дугой, равной по длине радиусу. Полная окружность составляет $2\pi \approx 6.2832$ радиана, а один радиан $\approx 57.2958^\circ$. Поскольку это отношение двух длин, радиан является безразмерной величиной, именно поэтому $\omega \cdot r$ даёт единицы м/с.
Ось вращения: Неподвижная прямая линия, вокруг которой вращается тело. Каждая точка на теле движется по окружности, центр которой находится на этой оси, в плоскости, перпендикулярной оси.