Что делает этот калькулятор
Инструмент вычисляет новое положение точки на плоскости после её поворота вокруг начала координат (0, 0) на заданный угол. Поворот вокруг начала координат — одно из базовых геометрических преобразований, которое широко применяется в геометрии, компьютерной графике, робототехнике и физике. Математика здесь универсальна — формулы работают одинаково в любой стране, без каких-либо национальных особенностей или правил.
Как пользоваться
Введите исходные координаты x и y, укажите угол поворота \(\theta\) и выберите, в чём он задан — в градусах или радианах. По общепринятому соглашению положительный угол поворачивает точку против часовой стрелки; чтобы повернуть по часовой стрелке, введите отрицательный угол. Нажмите «Рассчитать» и посмотрите новые координаты.
Разбор формулы
Если угол задан в градусах, его сначала переводят в радианы по формуле \(\theta_{\text{рад}} = \theta \times \frac{\pi}{180}\). Затем новые координаты находят по классическим уравнениям поворота:
$$\begin{aligned} x' &= x\cos\theta - y\sin\theta \\ y' &= x\sin\theta + y\cos\theta \end{aligned}$$Это равносильно умножению точки на матрицу поворота \(R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}\). Поскольку поворот — движение твёрдого тела, расстояние от начала координат \(\sqrt{x^2+y^2}\) остаётся неизменным — удобный способ проверить результат.
Пример расчёта
Повернём точку (3, 4) на 30°. Переводим угол: \(30° = 0{,}5236\) рад, тогда \(\cos = 0{,}866025\) и \(\sin = 0{,}5\). Получаем
$$x' = 3\cdot 0{,}866025 - 4\cdot 0{,}5 = 0{,}598076$$$$y' = 3\cdot 0{,}5 + 4\cdot 0{,}866025 = 4{,}964102$$Повёрнутая точка примерно равна (0,598076, 4,964102), а её расстояние от начала координат по-прежнему составляет \(\sqrt{0{,}598076^2+4{,}964102^2} = 5\) — ровно столько же, сколько у исходной точки: \(\sqrt{3^2+4^2} = 5\).
Частые вопросы
В какую сторону поворачивает положительный угол? Против часовой стрелки — в соответствии со стандартной математической ориентацией. Для поворота по часовой стрелке используйте отрицательный угол.
Почему расстояние от начала координат не меняется? Поворот — это изометрия: он сохраняет длины и углы, поэтому каждая точка остаётся на прежнем расстоянии от центра поворота.
Что происходит при угле 0 или 360°? Точка возвращается без изменений, ведь полный оборот (или его отсутствие) переводит каждую точку саму в себя. Начало координат (0, 0) также остаётся на месте при любом угле.
