मूल बिंदु के परितः निर्देशांक घूर्णन कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

मूल निर्देशांक x

y

Rotation angle θ धनात्मक = वामावर्त (counter-clockwise); दक्षिणावर्त के लिए ऋणात्मक संख्या दर्ज करें।

कोण की इकाई Degrees Radians

परिणाम

घूर्णन के बाद नया निर्देशांक

( 0.598076, 4.964102 )

मूल बिंदु (0, 0) के परितः घुमाया गया

नया x	0.5980762114
नया y	4.9641016151
मूल बिंदु से दूरी (अपरिवर्तित)	5

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल 2D तल में किसी बिंदु को मूल बिंदु (0, 0) के चारों ओर चुने गए कोण से घुमाने के बाद उसकी नई स्थिति निकालता है। मूल बिंदु के परितः घूर्णन ज्यामिति, कंप्यूटर ग्राफ़िक्स, रोबोटिक्स और भौतिकी में एक बुनियादी रूपांतरण (transformation) है। इसका गणित सार्वभौमिक है — यह हर जगह एक जैसा काम करता है, किसी देश-विशेष के नियम लागू नहीं होते।

इसका उपयोग कैसे करें

मूल निर्देशांक x और y दर्ज करें, घूर्णन कोण θ टाइप करें, और चुनें कि कोण डिग्री में है या रेडियन में। परंपरा के अनुसार धनात्मक कोण बिंदु को वामावर्त (counter-clockwise) घुमाता है; दक्षिणावर्त (clockwise) घुमाने के लिए ऋणात्मक कोण दर्ज करें। नए निर्देशांक देखने के लिए "Calculate" दबाएँ।

सूत्र की व्याख्या

यदि डिग्री चुनी गई है, तो कोण को पहले \(\theta_{\text{rad}} = \theta \times \frac{\pi}{180}\) के द्वारा रेडियन में बदला जाता है। इसके बाद नए निर्देशांक मानक घूर्णन समीकरणों से निकाले जाते हैं:

$$\begin{aligned} x^{\prime} &= x\cos\theta - y\sin\theta \\ y^{\prime} &= x\sin\theta + y\cos\theta \end{aligned}$$

यह बिंदु को घूर्णन आव्यूह (rotation matrix) \(R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}\) से गुणा करने के बराबर है। चूँकि घूर्णन एक दृढ़ (rigid) रूपांतरण है, इसलिए मूल बिंदु से दूरी \(\sqrt{x^2+y^2}\) कभी नहीं बदलती — यह जाँचने का एक आसान तरीका है।

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बिंदु P को मूल बिंदु के परितः theta कोण से घुमाने पर नया बिंदु P' प्राप्त होता है।

हल किया हुआ उदाहरण

(3, 4) को 30° से घुमाएँ। रूपांतरण: \(30° = 0.5236\) रेडियन, इसलिए \(\cos = 0.866025\) और \(\sin = 0.5\)। तब

$$x^{\prime} = 3 \cdot 0.866025 - 4 \cdot 0.5 = 0.598076$$$$y^{\prime} = 3 \cdot 0.5 + 4 \cdot 0.866025 = 4.964102$$

घुमाया गया बिंदु लगभग (0.598076, 4.964102) है, और मूल बिंदु से इसकी दूरी अब भी \(\sqrt{0.598076^2+4.964102^2} = 5\) है, जो मूल दूरी \(\sqrt{3^2+4^2} = 5\) के बिल्कुल बराबर है।

उदाहरण: 90 डिग्री का घूर्णन (3, 1) को (-1, 3) पर ले जाता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQ)

धनात्मक कोण किस दिशा में घुमाता है? वामावर्त (counter-clockwise), मानक गणितीय दिशा के अनुसार। दक्षिणावर्त घूर्णन के लिए ऋणात्मक कोण का उपयोग करें।

मूल बिंदु से दूरी क्यों नहीं बदलती? घूर्णन एक सममिति (isometry) है — यह लंबाई और कोण दोनों को सुरक्षित रखता है, इसलिए हर बिंदु घूर्णन केंद्र से अपनी दूरी बनाए रखता है।

कोण 0 या 360° पर क्या होता है? बिंदु बिना बदले वापस मिलता है, क्योंकि पूरा घुमाव (या कोई घुमाव नहीं) हर बिंदु को उसी स्थान पर ले आता है। मूल बिंदु (0, 0) भी किसी भी कोण पर स्थिर रहता है।