À quoi sert ce calculateur
Cet outil détermine la nouvelle position d'un point du plan 2D après sa rotation autour de l'origine (0, 0) d'un angle choisi. La rotation autour de l'origine est une transformation fondamentale en géométrie, en infographie, en robotique et en physique. Les mathématiques sont universelles : elles fonctionnent partout de la même manière, sans aucune règle propre à un pays.
Mode d'emploi
Saisissez les coordonnées initiales x et y, indiquez l'angle de rotation \(\theta\), puis choisissez s'il est exprimé en degrés ou en radians. Par convention, un angle positif fait tourner le point dans le sens antihoraire (sens trigonométrique) ; entrez un angle négatif pour une rotation dans le sens horaire. Lancez le calcul pour lire les nouvelles coordonnées.
La formule expliquée
Si vous travaillez en degrés, l'angle est d'abord converti en radians avec \(\theta_{\text{rad}} = \theta \times \frac{\pi}{180}\). Les nouvelles coordonnées s'obtiennent ensuite grâce aux équations de rotation classiques :
$$\begin{aligned} x' &= x\cdot\cos\theta - y\cdot\sin\theta \\ y' &= x\cdot\sin\theta + y\cdot\cos\theta \end{aligned}$$Cela revient à multiplier le point par la matrice de rotation \(R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}\). Comme la rotation est une transformation rigide, la distance à l'origine \(\sqrt{x^2+y^2}\) ne change jamais : c'est une vérification bien commode.
Exemple résolu
Faisons tourner le point (3, 4) de 30°. Conversion : \(30° = 0{,}5236\text{ rad}\), donc \(\cos = 0{,}866025\) et \(\sin = 0{,}5\). On obtient alors
$$\begin{aligned} x' &= 3\cdot 0{,}866025 - 4\cdot 0{,}5 = 0{,}598076 \\ y' &= 3\cdot 0{,}5 + 4\cdot 0{,}866025 = 4{,}964102 \end{aligned}$$Le point après rotation se situe environ en (0,598076 ; 4,964102), et sa distance à l'origine vaut toujours \(\sqrt{0{,}598076^2+4{,}964102^2} = 5\), exactement égale à la distance initiale \(\sqrt{3^2+4^2} = 5\).
FAQ
Dans quel sens tourne un angle positif ? Dans le sens antihoraire (sens trigonométrique), conformément à l'orientation mathématique usuelle. Utilisez un angle négatif pour une rotation dans le sens horaire.
Pourquoi la distance à l'origine reste-t-elle inchangée ? Une rotation est une isométrie : elle conserve les longueurs et les angles, si bien que chaque point garde sa distance au centre de rotation.
Que se passe-t-il pour un angle de 0 ou de 360° ? Le point est renvoyé inchangé, car un tour complet (ou l'absence de rotation) renvoie chaque point sur lui-même. L'origine (0, 0) reste également fixe quel que soit l'angle.
