Công cụ này làm gì
Công cụ này tính vị trí mới của một điểm trên mặt phẳng 2D sau khi xoay nó quanh gốc tọa độ (0, 0) theo một góc tùy chọn. Phép quay quanh gốc tọa độ là một phép biến hình cơ bản trong hình học, đồ họa máy tính, robot học và vật lý. Phép toán này mang tính phổ quát — đúng như nhau ở mọi nơi, không phụ thuộc vào quy định riêng của quốc gia nào.
Cách sử dụng
Nhập tọa độ ban đầu x và y, gõ góc quay \(\theta\), rồi chọn đơn vị góc là độ hay radian. Theo quy ước, góc dương sẽ xoay điểm ngược chiều kim đồng hồ; nhập góc âm để xoay theo chiều kim đồng hồ. Nhấn tính toán để xem tọa độ mới.
Giải thích công thức
Nếu chọn đơn vị độ, góc sẽ được đổi sang radian trước theo công thức $$\theta_{\text{rad}} = \theta \times \frac{\pi}{180}.$$ Sau đó, tọa độ mới được tính bằng các phương trình quay chuẩn: $$\begin{aligned} x^{\prime} &= x\cdot\cos\theta - y\cdot\sin\theta \\ y^{\prime} &= x\cdot\sin\theta + y\cdot\cos\theta \end{aligned}$$ Điều này tương đương với việc nhân điểm với ma trận quay $$R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}.$$ Vì phép quay là phép biến hình bảo toàn khoảng cách, nên khoảng cách từ điểm đến gốc tọa độ \(\sqrt{x^2+y^2}\) không bao giờ thay đổi — đây là một cách kiểm tra nhanh rất tiện lợi.
Ví dụ minh họa
Xoay điểm (3, 4) một góc 30°. Đổi đơn vị: \(30° = 0{,}5236\ \text{rad}\), suy ra \(\cos = 0{,}866025\) và \(\sin = 0{,}5\). Khi đó $$x^{\prime} = 3\cdot 0{,}866025 - 4\cdot 0{,}5 = 0{,}598076$$ và $$y^{\prime} = 3\cdot 0{,}5 + 4\cdot 0{,}866025 = 4{,}964102.$$ Điểm sau khi xoay xấp xỉ (0,598076, 4,964102), và khoảng cách của nó đến gốc tọa độ vẫn là \(\sqrt{0{,}598076^2+4{,}964102^2} = 5\), đúng bằng khoảng cách ban đầu \(\sqrt{3^2+4^2} = 5\).
Câu hỏi thường gặp
Góc dương xoay theo chiều nào? Ngược chiều kim đồng hồ, theo quy ước hướng dương trong toán học. Dùng góc âm để xoay theo chiều kim đồng hồ.
Vì sao khoảng cách đến gốc tọa độ không đổi? Phép quay là một phép đẳng cự — nó bảo toàn độ dài và góc, nên mọi điểm đều giữ nguyên khoảng cách đến tâm quay.
Điều gì xảy ra ở góc 0 hoặc 360°? Điểm được giữ nguyên không đổi, vì một vòng quay trọn vẹn (hoặc không quay) đưa mọi điểm về đúng vị trí cũ. Gốc tọa độ (0, 0) cũng đứng yên với mọi góc quay.
