Qué hace esta calculadora
Esta herramienta calcula la nueva posición de un punto en el plano 2D después de rotarlo respecto al origen (0, 0) con el ángulo que elijas. La rotación respecto al origen es una transformación esencial en geometría, gráficos por ordenador, robótica y física. Las matemáticas son universales: funcionan igual en cualquier lugar, sin reglas propias de cada país.
Cómo usarla
Introduce las coordenadas originales x e y, escribe el ángulo de rotación \(\theta\) y elige si lo expresas en grados o en radianes. Por convención, un ángulo positivo rota el punto en sentido antihorario; introduce un ángulo negativo para girarlo en sentido horario. Pulsa calcular para ver las nuevas coordenadas.
La fórmula explicada
Si eliges grados, el ángulo se convierte primero a radianes con \(\theta_{\text{rad}} = \theta \times \pi/180\). Las nuevas coordenadas se obtienen con las ecuaciones de rotación estándar:
$$\begin{aligned} x' &= x\cos\theta - y\sin\theta \\ y' &= x\sin\theta + y\cos\theta \end{aligned}$$Esto equivale a multiplicar el punto por la matriz de rotación \(R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}\). Como la rotación es un movimiento rígido, la distancia al origen \(\sqrt{x^2+y^2}\) nunca cambia: una comprobación muy práctica.
Ejemplo resuelto
Rotemos (3, 4) un ángulo de 30°. Convertimos: \(30° = 0{,}5236\text{ rad}\), de modo que \(\cos = 0{,}866025\) y \(\sin = 0{,}5\). Entonces $$x' = 3\cdot 0{,}866025 - 4\cdot 0{,}5 = 0{,}598076$$ e $$y' = 3\cdot 0{,}5 + 4\cdot 0{,}866025 = 4{,}964102.$$ El punto rotado es aproximadamente (0,598076, 4,964102), y su distancia al origen sigue siendo \(\sqrt{0{,}598076^2+4{,}964102^2} = 5\), exactamente igual que la original \(\sqrt{3^2+4^2} = 5\).
Preguntas frecuentes
¿En qué sentido gira un ángulo positivo? En sentido antihorario, siguiendo la orientación matemática estándar. Usa un ángulo negativo para girar en sentido horario.
¿Por qué no cambia la distancia al origen? Una rotación es una isometría: conserva las longitudes y los ángulos, así que cada punto mantiene su distancia al centro de rotación.
¿Qué ocurre con un ángulo de 0 o 360°? El punto se devuelve sin cambios, ya que una vuelta completa (o ninguna vuelta) lleva cada punto sobre sí mismo. El origen (0, 0) también permanece fijo para cualquier ángulo.
