ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة الموضع الجديد لنقطة في المستوى ثنائي الأبعاد بعد تدويرها حول نقطة الأصل (0، 0) بزاوية تختارها. يُعد التدوير حول نقطة الأصل تحويلًا أساسيًا في الهندسة الرياضية، ورسوميات الحاسوب، والروبوتات، والفيزياء. والمعادلات هنا عالمية — تعمل بالطريقة نفسها في كل مكان دون أي قواعد خاصة ببلد معيّن.
كيفية الاستخدام
أدخِل الإحداثيات الأصلية x وy، واكتب زاوية الدوران \(\theta\)، ثم اختر ما إذا كانت الزاوية بالدرجات أم بالراديان. بحسب الاصطلاح المتعارف عليه، تؤدي الزاوية الموجبة إلى تدوير النقطة عكس اتجاه عقارب الساعة؛ أدخِل زاوية سالبة للتدوير في اتجاه عقارب الساعة. اضغط «احسب» لقراءة الإحداثيات الجديدة.
شرح المعادلة
إذا اخترت الدرجات، تُحوَّل الزاوية أولًا إلى راديان عبر العلاقة \(\theta_{\text{راديان}} = \theta \times \frac{\pi}{180}\). ثم تُحسب الإحداثيات الجديدة بمعادلات الدوران القياسية:
$$\begin{aligned} x^{\prime} &= x\cos\theta - y\sin\theta \\ y^{\prime} &= x\sin\theta + y\cos\theta \end{aligned}$$وهذا يكافئ ضرب النقطة في مصفوفة الدوران \(R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}\). ولأن الدوران تحويل صلب، تبقى المسافة من نقطة الأصل \(\sqrt{x^2+y^2}\) ثابتة دون تغيّر — وهي وسيلة عملية للتحقق من صحة الحساب.
مثال محلول
لندوّر النقطة (3، 4) بزاوية 30°. التحويل: \(30^\circ = 0.5236\) راديان، إذن \(\cos = 0.866025\) وsin = 0.5. ومنها
$$x^{\prime} = 3 \cdot 0.866025 - 4 \cdot 0.5 = 0.598076$$وأيضًا
$$y^{\prime} = 3 \cdot 0.5 + 4 \cdot 0.866025 = 4.964102$$فتكون النقطة المُدارة قريبة من (0.598076، 4.964102)، وتبقى مسافتها من نقطة الأصل \(\sqrt{0.598076^2+4.964102^2} = 5\)، أي مساوية تمامًا للمسافة الأصلية \(\sqrt{3^2+4^2} = 5\).
الأسئلة الشائعة
في أي اتجاه تدوّر الزاوية الموجبة؟ عكس اتجاه عقارب الساعة، وفق الاتجاه الرياضي القياسي. استخدم زاوية سالبة للتدوير في اتجاه عقارب الساعة.
لماذا تبقى المسافة من نقطة الأصل دون تغيير؟ لأن الدوران تحويل حافظ للمسافات (تماثل قياسي) — فهو يحافظ على الأطوال والزوايا، ومن ثَمّ تحتفظ كل نقطة بمسافتها عن مركز الدوران.
ماذا يحدث عند الزاوية 0 أو 360°؟ تُعاد النقطة كما هي دون تغيير، لأن الدورة الكاملة (أو غياب الدوران) تُسقط كل نقطة على نفسها. كما تبقى نقطة الأصل (0، 0) ثابتة عند أي زاوية.
