この計算ツールでできること
このツールは、2次元平面上の点を原点 (0, 0) を中心に指定した角度だけ回転させたときの、新しい座標を求めます。原点を中心とした回転は、幾何学・コンピュータグラフィックス・ロボティクス・物理学などで使われる基本的な変換です。計算式は世界共通の数学にもとづいており、国や地域ごとのルールに左右されることはありません。
使い方
まず元の座標 \(x\) と \(y\) を入力し、回転角 \(\theta\) を入力します。次に、その角度の単位が「度」か「ラジアン」かを選択してください。数学の慣例では、正の角度は反時計回りの回転を表します。時計回りに回転させたい場合は、負の角度を入力します。最後に計算ボタンを押すと、回転後の新しい座標が表示されます。
計算式の解説
単位を「度」にした場合、角度はまず \(\theta_{\text{rad}} = \theta \times \frac{\pi}{180}\) によってラジアンへ変換されます。新しい座標は、標準的な回転の式を使って次のように求められます。
$$\begin{aligned} x^{\prime} &= x\cos\theta - y\sin\theta \\ y^{\prime} &= x\sin\theta + y\cos\theta \end{aligned}$$これは、点に回転行列 \(R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}\) を掛けることと同じです。回転は剛体変換なので、原点からの距離 \(\sqrt{x^2+y^2}\) は変化しません。これは計算結果の確認に便利な性質です。
計算例
点 (3, 4) を 30° 回転させてみましょう。まず単位を変換すると \(30° = 0.5236\text{ rad}\) となり、\(\cos = 0.866025\)、\(\sin = 0.5\) です。すると
$$\begin{aligned} x^{\prime} &= 3\cdot 0.866025 - 4\cdot 0.5 = 0.598076 \\ y^{\prime} &= 3\cdot 0.5 + 4\cdot 0.866025 = 4.964102 \end{aligned}$$となります。回転後の点はおよそ (0.598076, 4.964102) で、原点からの距離は \(\sqrt{0.598076^2+4.964102^2} = 5\) です。これは元の点の距離 \(\sqrt{3^2+4^2} = 5\) とぴったり一致します。
よくある質問
正の角度はどちら向きの回転ですか？ 数学の標準的な向きにしたがって、反時計回りに回転します。時計回りに回転させたいときは、負の角度を入力してください。
なぜ原点からの距離は変わらないのですか？ 回転は等長変換（アイソメトリー）であり、長さと角度を保ちます。そのため、すべての点は回転の中心からの距離を保ったまま移動します。
角度が 0° または 360° のときはどうなりますか？ 一周（または回転なし）はすべての点を元の位置に写すため、点は変化せずそのまま返されます。また原点 (0, 0) は、どんな角度でも常に動かず固定されたままです。
