Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, 2B düzlemdeki bir noktanın orijin (0, 0) etrafında seçtiğiniz bir açıyla döndürülmesinden sonraki yeni konumunu hesaplar. Orijin etrafında döndürme; geometri, bilgisayar grafikleri, robotik ve fizikte temel bir dönüşümdür. Matematiği evrenseldir — her yerde aynı şekilde çalışır, ülkeye özgü herhangi bir kural içermez.
Nasıl kullanılır?
Noktanın orijinal x ve y koordinatlarını girin, \(\theta\) dönme açısını yazın ve açının derece mi yoksa radyan cinsinden mi olduğunu seçin. Yaygın gösterime göre pozitif bir açı noktayı saat yönünün tersine döndürür; saat yönünde döndürmek için negatif bir açı girin. Yeni koordinatları görmek için hesapla düğmesine basın.
Formülün açıklaması
Derece seçildiyse açı önce \(\theta_{\text{rad}} = \theta \times \pi/180\) ile radyana çevrilir. Yeni koordinatlar ardından standart döndürme denklemleriyle bulunur:
$$\begin{aligned} x' &= x\cos\theta - y\sin\theta \\ y' &= x\sin\theta + y\cos\theta \end{aligned}$$Bu işlem, noktayı \(R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}\) döndürme matrisiyle çarpmaya eşdeğerdir. Döndürme katı bir dönüşüm olduğundan, noktanın orijine olan uzaklığı \(\sqrt{x^2+y^2}\) hiç değişmez — bu da işe yarar bir kontrol noktasıdır.
Çözümlü örnek
(3, 4) noktasını 30° döndürelim. Çevirelim: \(30° = 0{,}5236 \text{ rad}\), dolayısıyla \(\cos = 0{,}866025\) ve \(\sin = 0{,}5\). Buradan
$$x' = 3 \cdot 0{,}866025 - 4 \cdot 0{,}5 = 0{,}598076$$$$y' = 3 \cdot 0{,}5 + 4 \cdot 0{,}866025 = 4{,}964102$$olur. Döndürülmüş nokta yaklaşık (0,598076, 4,964102) olur ve orijine olan uzaklığı hâlâ \(\sqrt{0{,}598076^2+4{,}964102^2} = 5\)'tir; bu, başlangıçtaki \(\sqrt{3^2+4^2} = 5\) değerine tam olarak eşittir.
Sıkça sorulan sorular
Pozitif bir açı hangi yöne döndürür? Standart matematiksel yönelime uygun olarak saat yönünün tersine döndürür. Saat yönünde döndürmek için negatif bir açı kullanın.
Orijine olan uzaklık neden değişmez? Döndürme bir izometridir — uzunlukları ve açıları korur, bu nedenle her nokta dönme merkezine olan uzaklığını korur.
Açı 0 veya 360° olduğunda ne olur? Tam bir tur (ya da hiç dönmemek) her noktayı kendi üzerine eşlediğinden, nokta değişmeden geri döner. Orijin (0, 0) da herhangi bir açı için sabit kalır.
