यह कैलकुलेटर क्या करता है
3D निर्देशांक घूर्णन कैलकुलेटर त्रि-आयामी अंतरिक्ष में किसी बिंदु को X, Y और/या Z अक्ष के परितः घुमाने के बाद उसकी नई स्थिति निकालता है। यह दाएँ-हाथ वाला निर्देशांक तंत्र (right-handed coordinate system) और दाएँ-हाथ नियम (right-hand rule) की चिह्न-परिपाटी का उपयोग करता है। इसका अर्थ है कि धनात्मक कोण से बिंदु वामावर्त (counterclockwise) दिशा में घूमता है, जब आप घूर्णन अक्ष के धनात्मक सिरे से मूल बिंदु (origin) की ओर देखते हैं। यह विशुद्ध विश्लेषणात्मक ज्यामिति है और सर्वत्र लागू होती है — भौतिकी, रोबोटिक्स, कंप्यूटर ग्राफिक्स, CAD और इंजीनियरिंग, सभी में।
इसका उपयोग कैसे करें
अपने बिंदु के प्रारंभिक निर्देशांक (Initial x, y, z) दर्ज करें। चुनें कि आपके कोण डिग्री में हैं या रेडियन में। फिर तीन तक घूर्णन चरण परिभाषित करें, हर एक में एक अक्ष और एक कोण। चरण क्रम से लागू होते हैं: चरण 1 मूल बिंदु पर काम करता है, चरण 2 चरण 1 के परिणाम पर, और इसी तरह आगे। किसी चरण को छोड़ने के लिए उसका कोण खाली छोड़ दें या 0 कर दें। यदि केवल एक ही घूर्णन करना है, तो सिर्फ़ चरण 1 भरें।
सूत्र की व्याख्या
हर चरण के लिए, मान लें theta रेडियन में कोण है, जहाँ \(c = \cos\theta\) और \(s = \sin\theta\)। Z अक्ष के परितः घूर्णन में \(z\) अपरिवर्तित रहता है और \((x, y)\) को \((x\cdot c - y\cdot s,\ x\cdot s + y\cdot c)\) में बदल देता है।
$$R_z(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$X अक्ष के परितः घूर्णन में \(x\) अपरिवर्तित रहता है; Y अक्ष के परितः घूर्णन में \(y\) अपरिवर्तित रहता है — दोनों ही शेष दो निर्देशांकों को उसी ढंग से मिलाते हैं।
$$\begin{aligned} x^{\prime} &= x \\ y^{\prime} &= y\cos\theta - z\sin\theta \\ z^{\prime} &= y\sin\theta + z\cos\theta \end{aligned}$$$$\begin{aligned} x^{\prime} &= x\cos\theta + z\sin\theta,\; y^{\prime}=y,\; z^{\prime}=-x\sin\theta + z\cos\theta \\ x^{\prime} &= x\cos\theta - y\sin\theta,\; y^{\prime}=x\sin\theta + y\cos\theta,\; z^{\prime}=z \end{aligned}$$कई घूर्णनों को जोड़ना उनके घूर्णन मैट्रिक्स को गुणा करने के बराबर है, लेकिन उन्हें सदिश पर चरण-दर-चरण लागू करने से क्रम संबंधी ग़लतियाँ नहीं होतीं।
हल किया हुआ उदाहरण
बिंदु \((1, 0, 1)\) लें और इसे Z अक्ष के परितः 90° घुमाएँ। यहाँ \(\theta = \pi/2\), इसलिए \(c = 0\) और \(s = 1\)। तब \(x' = 1\cdot 0 - 0\cdot 1 = 0\), \(y' = 1\cdot 1 + 0\cdot 0 = 1\), और \(z'\) अपरिवर्तित रहकर 1 ही रहता है। परिणाम है \((0, 1, 1)\)।
सामान्य घूर्णन कोण मान
प्रत्येक घूर्णन मैट्रिक्स की प्रविष्टियाँ केवल \(\cos\theta\) और \(\sin\theta\) पर निर्भर करती हैं। तालिका सबसे सामान्य कोणों के लिए सटीक मान सूचीबद्ध करती है ताकि आप उन्हें सीधे \(R_X\), \(R_Y\) या \(R_Z\) में प्रतिस्थापित कर सकें। दशमलव सन्निकटन चार स्थानों तक दिखाए गए हैं।
| \(\theta\) (डिग्री) | \(\theta\) (रेड) | \(\cos\theta\) | \(\sin\theta\) |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | \(\pi/6\) | \(\tfrac{\sqrt3}{2}\approx0.8660\) | \(\tfrac12=0.5\) |
| 45° | \(\pi/4\) | \(\tfrac{\sqrt2}{2}\approx0.7071\) | \(\tfrac{\sqrt2}{2}\approx0.7071\) |
| 60° | \(\pi/3\) | \(\tfrac12=0.5\) | \(\tfrac{\sqrt3}{2}\approx0.8660\) |
| 90° | \(\pi/2\) | 0 | 1 |
| 180° | \(\pi\) | −1 | 0 |
| 270° | \(3\pi/2\) | 0 | −1 |
ध्यान दें कि एक \(180^\circ\) घूर्णन अक्ष के लंबवत दो निर्देशांकों के चिह्न को फ्लिप कर देता है, जबकि \(270^\circ\) बराबर है \(-90^\circ\) (धनात्मक अक्ष के नीचे देखने पर दक्षिणावर्त दिशा में एक चौथाई मोड़)।
मुख्य शब्द और चर
- दाएँ हाथ का समन्वय प्रणाली
- एक 3D ढाँचा जिसमें X, Y और Z अक्ष इस प्रकार उन्मुख हैं कि दाहिने हाथ की उँगलियों को +X से +Y की ओर निर्देशित करने से अँगूठा +Z के साथ संकेत करता है। मानक गणितीय और भौतिकी सम्मेलन; ये घूर्णन मैट्रिक्स इसे मानते हैं।
- दाहिने हाथ का नियम
- घूर्णन की धनात्मक दिशा के लिए एक स्मरणीय: दाहिने अँगूठे को घूर्णन की धनात्मक अक्ष के साथ संकेत करें, और उँगलियों का कर्ल उस अक्ष के लिए घूर्णन की धनात्मक (वामावर्त) दिशा देता है।
- घूर्णन मैट्रिक्स
- एक \(3\times3\) ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स जिसका निर्धारक \(+1\) है जो सदिशों को एक निश्चित अक्ष के बारे में घुमाता है बिना उनकी लंबाई को बदले। यहाँ \(R_X\), \(R_Y\) और \(R_Z\) क्रमशः X, Y और Z अक्षों के बारे में घुमाते हैं।
- \(\theta\) (थीटा), घूर्णन कोण
- चुने गए अक्ष के बारे में घूर्णन की मात्रा। डिग्री या रेडियन में दर्ज किया जाता है; उपकरण \(\theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{deg}}\cdot\pi/180\) के साथ आंतरिक रूप से डिग्री को परिवर्तित करता है \(\cos\theta\) और \(\sin\theta\) का मूल्यांकन करने से पहले।
- घूर्णन की अक्ष
- निश्चित रेखा (X, Y या Z) कि इस पर बिंदु अपरिवर्तित रहते हैं जबकि बाकी सब कुछ इसके चारों ओर घुमता है। इस उपकरण में प्रत्येक चरण की अक्ष को 0 = X, 1 = Y, 2 = Z के रूप में चुना जाता है।
- धनात्मक / वामावर्त दिशा
- एक धनात्मक कोण एक वामावर्त घूर्णन का उत्पादन करता है जब अक्ष के धनात्मक सिरे से मूल की ओर देखा जाता है। एक ऋणात्मक कोण इसे उलट देता है (दक्षिणावर्त)।
- आउटपुट निर्देशांक \(x'\), \(y'\), \(z'\)
- घुमाए गए बिंदु \(\mathbf{p}' = R\,\mathbf{p}\) के घटक। एक या अधिक अनुक्रमिक घूर्णनों के साथ, \(\mathbf{p}' = R_{a_3}(\theta_3)\,R_{a_2}(\theta_2)\,R_{a_1}(\theta_1)\,\mathbf{p}\), जहाँ सबसे दाईं ओर की मैट्रिक्स पहले लागू की जाती है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
धनात्मक घूर्णन दिशा क्या होती है? धनात्मक का अर्थ है वामावर्त (counterclockwise) — जब आप धनात्मक अक्ष से मूल बिंदु की ओर देखते हैं (यही दाएँ-हाथ नियम है)।
क्या घूर्णनों का क्रम मायने रखता है? हाँ। 3D घूर्णन क्रम-विनिमेय (commutative) नहीं होते, इसलिए पहले X फिर Z के परितः घुमाना सामान्यतः पहले Z फिर X से अलग परिणाम देता है। यह टूल चरण 1 को सबसे पहले लागू करता है।
कुछ परिणामों में बहुत छोटी संख्या की जगह 0 क्यों दिखता है? फ़्लोटिंग-पॉइंट गणना में \(\cos(90°)\) जैसे मान बिल्कुल 0 नहीं होते, इसलिए स्पष्टता के लिए शून्य के बेहद नज़दीक के परिणामों को साफ़ करके 0 कर दिया जाता है।
