Phân phối Beta là gì?
Phân phối Beta là một phân phối xác suất liên tục xác định trên khoảng [0, 1], được điều khiển bởi hai tham số hình dạng dương là α (alpha) và β (beta). Vì nằm trọn trong khoảng đơn vị này, nó là lựa chọn tự nhiên để mô hình hóa tỷ lệ, xác suất, phần trăm và các tỷ suất — chẳng hạn như tỷ lệ chuyển đổi (conversion rate), tỷ lệ thành công trung bình, hay xác suất thành công chưa biết trong suy luận Bayes (nó là phân phối tiên nghiệm liên hợp của phân phối nhị thức).
Cách sử dụng máy tính
Nhập hai tham số hình dạng \(\alpha\) và \(\beta\) (cả hai đều phải lớn hơn 0) và một giá trị \(x\) nằm trong khoảng từ 0 đến 1. Máy tính sẽ trả về mật độ xác suất \(f(x)\) tại điểm đó, cùng với trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn và mode của phân phối. \(\alpha\) càng lớn thì khối lượng phân phối càng dồn về phía 1; \(\beta\) càng lớn thì dồn về phía 0; khi hai giá trị bằng nhau, phân phối đối xứng quanh 0.5.
Giải thích công thức
Trung bình là $$\mu = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}$$ và phương sai là $$\sigma^2 = \frac{\alpha\,\beta}{\left(\alpha+\beta\right)^2\left(\alpha+\beta+1\right)}.$$ Mật độ xác suất là $$f(\text{x};\,\alpha,\beta) = \frac{\text{x}^{\,\alpha-1}\left(1-\text{x}\right)^{\beta-1}}{B\!\left(\alpha,\beta\right)},$$ trong đó \(B(\alpha, \beta) = \Gamma(\alpha)\Gamma(\beta) / \Gamma(\alpha + \beta)\) là hàm Beta dùng để chuẩn hóa đường cong sao cho tổng diện tích bằng 1. Mode (đỉnh) tồn tại tại $$\text{Mode} = \frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}$$ khi cả \(\alpha\) và \(\beta\) đều lớn hơn 1.
Ví dụ minh họa
Lấy \(\alpha = 2\), \(\beta = 5\), \(x = 0.5\). Trung bình là \(2/7 \approx 0.2857\). Phương sai là $$\frac{2\cdot 5}{(7^2)(8)} = \frac{10}{392} \approx 0.02551.$$ Với \(B(2, 5) = 1/30\), mật độ là $$f(0.5) = 0.5^1 \cdot 0.5^4 \cdot 30 = 0.5^5 \cdot 30 = 0.03125 \cdot 30 = 0.9375.$$
Cách các tham số hình dạng thay đổi phân bố
Phân bố Beta nằm trên khoảng \([0,1]\) và toàn bộ hình dạng của nó được kiểm soát bởi hai tham số hình dạng dương \(\alpha\) và \(\beta\). Giá trị trung bình luôn là \(\mu = \dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}\), phương sai là \(\sigma^2 = \dfrac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\), và yếu vị (khi \(\alpha,\beta>1\)) là \(\dfrac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\). Bảng dưới đây cho thấy một số cặp tham số cổ điển.
| (α, β) | Hình dạng | Giá trị trung bình = α/(α+β) | Yếu vị | Phương sai |
|---|---|---|---|---|
| (1, 1) | Đều (phẳng) trên [0,1] | 0.5 | không (phẳng) | 0.0833 |
| (0.5, 0.5) | Hình chữ U (khối lượng ở cả hai đầu, arcsine) | 0.5 | 0 và 1 (chống yếu vị) | 0.1250 |
| (2, 2) | Hình chuông đối xứng, nhọn ở tâm | 0.5 | 0.5 | 0.0500 |
| (5, 5) | Hình chuông đối xứng chặt hơn | 0.5 | 0.5 | 0.0227 |
| (2, 5) | Lệch phải (khối lượng hướng đến 0) | 0.2857 | 0.2 | 0.0255 |
| (5, 2) | Lệch trái (khối lượng hướng đến 1) | 0.7143 | 0.8 | 0.0255 |
Hai mẫu nổi bật. Thứ nhất, hoán đổi \(\alpha\) và \(\beta\) phản chiếu phân bố về \(x=0.5\), vì vậy (2,5) và (5,2) có cùng hình dạng và phương sai nhưng độ lệch ngược nhau. Thứ hai, tăng cả hai tham số trong khi giữ tỷ lệ của chúng không đổi (ví dụ (2,2) \(\to\) (5,5)) giữ giá trị trung bình ở 0.5 nhưng làm giảm phương sai, tập trung đường cong chặt hơn quanh giá trị trung bình.
Diễn giải kết quả Beta của bạn
Vì phân bố Beta được hỗ trợ trên \([0,1]\), nó là mô hình tự nhiên cho một tỷ lệ, xác suất hoặc tỷ lệ không xác định. Mỗi thống kê tóm tắt trả lời một câu hỏi khác:
- Giá trị trung bình \(\mu=\alpha/(\alpha+\beta)\) là tỷ lệ kỳ vọng — ước tính số duy nhất tốt nhất của xác suất cơ bản.
- Yếu vị \((\alpha-1)/(\alpha+\beta-2)\) là giá trị có khả năng cao nhất, tức là vị trí của đỉnh của mật độ. Nó chỉ tồn tại dưới dạng đỉnh nội thất khi \(\alpha>1\) và \(\beta>1\); nếu không, khối lượng tích lũy ở điểm cuối.
- Phương sai và độ lệch chuẩn đo độ lây lan, hoặc mức độ không chắc chắn còn lại về tỷ lệ. Độ lệch chuẩn nhỏ có nghĩa là bạn tự tin giá trị thật nằm gần giá trị trung bình.
Lượng \(\alpha+\beta\) hoạt động như một kích thước mẫu hoặc nồng độ: càng lớn thì phương sai càng nhỏ và mật độ tập trung quanh giá trị trung bình càng sắc nét. Hai phân bố có thể chia sẻ cùng một giá trị trung bình nhưng có mức chắc chắn rất khác nhau — Beta(2,2) và Beta(50,50) đều tập trung ở 0.5, nhưng cái sau hẹp hơn nhiều.
Trong suy luận Bayes, Beta là tiền nghiệm liên hợp cho một khả năng nhị thức (Bernoulli). Nếu bạn bắt đầu với một tiền nghiệm Beta(\(\alpha_0,\beta_0\)) và sau đó quan sát \(s\) lần thành công và \(f\) lần thất bại, thì posteriori đơn giản là Beta(\(\alpha_0+s,\ \beta_0+f\)). Với tiền nghiệm đều Beta(1,1), \(\alpha\) có hiệu lực đếm các lần thành công \(+1\) và \(\beta\) đếm các lần thất bại \(+1\); giá trị trung bình posteriori \((s+1)/(s+f+2)\) là quy tắc kế tiếp Laplace cổ điển.
Cuối cùng, hãy nhớ rằng \(f(x)\) là một mật độ xác suất, không phải một xác suất. Giá trị của nó có thể vượt quá 1 (ví dụ gần đỉnh của một Beta tập trung chặt), và chỉ diện tích dưới đường cong giữa hai điểm — không bao giờ chiều cao tại một điểm duy nhất — mới cho một xác suất thực tế. Tổng diện tích trên \([0,1]\) luôn bằng 1.
Định nghĩa & Từ điển
- α (alpha)
- Tham số hình dạng thứ nhất, \(\alpha>0\). Lỏng lẻo, nó đại diện cho trọng lượng của "các lần thành công"; \(\alpha\) lớn hơn đẩy khối lượng về phía 1.
- β (beta)
- Tham số hình dạng thứ hai, \(\beta>0\). Lỏng lẻo, nó đại diện cho trọng lượng của "các lần thất bại"; \(\beta\) lớn hơn đẩy khối lượng về phía 0.
- PDF f(x)
- Hàm mật độ xác suất, \(f(x;\alpha,\beta)=\dfrac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}\) cho \(0\le x\le 1\). Nó mô tả khả năng tương đối; xác suất là diện tích dưới nó.
- Hàm Beta B(α,β)
- Hằng số chuẩn hóa, \(B(\alpha,\beta)=\displaystyle\int_0^1 t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}\,dt=\dfrac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}\). Chia cho nó làm cho mật độ tích phân thành 1.
- Hàm Gamma Γ
- Một phần mở rộng liên tục của giai thừa, \(\Gamma(n)=(n-1)!\) cho các số nguyên dương, được định nghĩa nói chung bởi \(\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}\,dt\). Nó liên kết các hàm Beta và Gamma ở trên.
- Giá trị trung bình
- Giá trị kỳ vọng, \(\mu=\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}\) — tỷ lệ trung bình dài hạn.
- Phương sai
- Một phép đo độ lây lan, \(\sigma^2=\dfrac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\).
- Độ lệch chuẩn
- Căn bậc hai của phương sai, \(\sigma=\sqrt{\sigma^2}\), được biểu thị theo cùng đơn vị với \(x\).
- Yếu vị
- Giá trị có khả năng cao nhất (đỉnh của mật độ), \(\dfrac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\) khi \(\alpha>1\) và \(\beta>1\).
- Tiền nghiệm liên hợp
- Một phân bố tiên nghiệm mà khi kết hợp với một khả năng cho trước, sinh ra một posteriori trong cùng một họ. Beta là tiền nghiệm liên hợp cho khả năng nhị thức/Bernoulli.
- Hỗ trợ [0,1]
- Phạm vi giá trị mà biến ngẫu nhiên có thể nhận. Phân bố Beta chỉ được định nghĩa trên khoảng đóng \([0,1]\), làm cho nó lý tưởng cho các tỷ lệ và xác suất.
Câu hỏi thường gặp
\(\alpha\) hoặc \(\beta\) có thể nhỏ hơn 1 không? Có — các giá trị dưới 1 tạo ra đường cong hình chữ U hoặc chữ J với mật độ tăng vọt về phía hai đầu mút. Khi đó mật độ tại biên có thể không bị chặn (vô hạn).
Khi nào phân phối Beta trở thành phân phối đều? Khi \(\alpha = \beta = 1\), hàm PDF nằm phẳng và bằng 1 trên toàn bộ khoảng [0, 1] — giống hệt phân phối đều.
Tại sao \(x\) phải nằm trong khoảng từ 0 đến 1? Phân phối Beta có mật độ bằng 0 bên ngoài khoảng [0, 1], nên các giá trị vượt ngoài khoảng này không xác định đối với PDF.
