상대론적 도플러 효과란?
광원이 관측자에 대해 움직이면 측정되는 파장과 주파수가 달라집니다. 소리에 적용되는 고전적 도플러 효과와 달리, 상대론적 버전에서는 로런츠 인자를 통한 시간 지연까지 함께 작용합니다. 그래서 시선 방향과 수직으로 움직이는 경우에도 편이가 나타나죠. 이 계산기는 광원의 속도와 방향이 어떻든 관측 파장, 그에 대응하는 주파수, 그리고 속도 비율을 계산해 줍니다. 특수상대성이론에 기반한 보편적인 물리 법칙이므로 어디서나 동일하게 적용됩니다.
사용 방법
광원의 정지 파장을 나노미터(nm) 단위로, 상대 속도를 초당 킬로미터(km/s) 단위로, 진행 방향 각도를 도(°) 단위로 입력하세요. 각도 약속은 다음과 같습니다. 0°는 광원이 관측자를 향해 곧장 다가오는 경우(청색편이), 180°는 곧장 멀어지는 경우(적색편이), 90°는 시선과 수직으로 움직이는 횡방향 운동(순수 시간 지연에 의한 적색편이)을 뜻합니다. 상대 속도는 반드시 빛의 속도인 299,792.458 km/s보다 작아야 합니다.
공식 풀이
\(\beta = v_0/c\), \(\gamma = 1/\sqrt{1-\beta^2}\)로 두겠습니다. 관측 파장은 $$\lambda = \lambda_0 \times \gamma \times (1 - \beta\cos\theta)$$로 주어집니다. \(\theta = 180°\)일 때 \(\cos\theta = -1\)이므로 계수가 \(\gamma(1+\beta) > 1\)이 되어 적색편이가 나타납니다. \(\theta = 0°\)에서는 계수 \(\gamma(1-\beta) < 1\)이 되어 청색편이가 생기죠. 주파수는 파장을 미터 단위로 둔 \(\nu = c/\lambda\)에서 구합니다.
계산 예시
\(\lambda_0 = 570\ \text{nm}\), \(v_0 = 30{,}000\ \text{km/s}\), \(\theta = 180°\)인 경우를 봅시다. \(\beta = 30000/299792.458 = 0.10007\), \(\gamma = 1.00505\)이고, 계수는 \(1.00505 \times 1.10007 = 1.10560\)입니다. 따라서 $$\lambda = 570 \times 1.10560 = 630.19\ \text{nm}$$(적색편이)가 됩니다. 주파수는 \(c/\lambda \approx 475{,}724\ \text{GHz}\)이고, 속도 비율은 10.01%입니다.
자주 묻는 질문
옆으로 움직이는 광원도 왜 편이가 생기나요? \(\theta = 90°\)에서는 고전적 도플러 항이 사라지지만, 로런츠 인자 \(\gamma \ge 1\)은 그대로 남아 있습니다. 이로 인해 상대성이론에서만 나타나는 횡방향(시간 지연) 적색편이가 발생합니다.
속도를 빛의 속도와 같게 입력할 수 있나요? 아니요. \(v_0\)가 \(c\)에 가까워질수록 \(\gamma\)가 발산하기 때문에, 이 계산기는 \(v_0 < 299{,}792.458\ \text{km/s}\)를 요구합니다.
속도 비율은 무슨 의미인가요? \(\beta\)를 백분율로 나타낸 값으로, 광원이 빛의 속도의 몇 퍼센트로 움직이는지를 나타냅니다.
