이 계산기의 기능
이 도구는 일양성자 약산 용액의 pH를 산 해리상수(Ka)와 초기 몰농도(C)로부터 계산합니다. 흔히 쓰는 근사식 \([\text{H}^{+}] = \sqrt{\text{K}_a \cdot \text{C}}\)와 달리, 이 계산기는 평형식에서 유도되는 완전한 이차방정식을 직접 풀어냅니다. 따라서 산이 비교적 강하거나 묽어서 해리를 무시할 수 없는 경우에도 정확한 값을 제공합니다.
사용 방법
Ka 값을 입력하세요(예: 아세트산은 \(1.8 \times 10^{-5}\)이며, 1.8e-5처럼 입력합니다). 그리고 산의 초기 농도를 리터당 몰(mol/L) 단위로 넣으면 됩니다. 계산기는 pH와 함께 수소 이온 농도, pOH(25 °C에서 \(14 - \text{pH}\)), 그리고 산 분자 중 얼마나 이온화되었는지를 나타내는 이온화 백분율을 보여줍니다.
공식 풀이
평형 \(\text{HA} \rightleftharpoons \text{H}^{+} + \text{A}^{-}\)에서 \(\text{K}_a = \dfrac{x^{2}}{\text{C} - x}\)이며, 여기서 \(x = [\text{H}^{+}]\)입니다. 이를 정리하면 \(x^{2} + \text{K}_a\,x - \text{K}_a\,\text{C} = 0\)이 됩니다. 근의 공식으로 풀어 양의 근만 취하면 다음과 같이 됩니다.
$$[\text{H}^{+}] = \frac{-\text{K}_a + \sqrt{\text{K}_a^{2} + 4 \cdot \text{K}_a \cdot \text{C}}}{2}$$그다음 다음 식으로 구합니다.
$$\text{pH} = -\log_{10}\left( [\text{H}^{+}] \right)$$
계산 예시
\(\text{K}_a = 1.8 \times 10^{-5}\)인 아세트산을 \(\text{C} = 0.1 \ \text{mol/L}\)에서 살펴봅시다. \(\text{K}_a^{2} + 4 \cdot \text{K}_a \cdot \text{C} = 3.24 \times 10^{-10} + 7.2 \times 10^{-6} \approx 7.2003 \times 10^{-6}\)입니다. 이 값의 제곱근은 \(2.6833 \times 10^{-3}\)이므로 \([\text{H}^{+}] = \dfrac{-1.8 \times 10^{-5} + 2.6833 \times 10^{-3}}{2} \approx 1.3328 \times 10^{-3} \ \text{mol/L}\)입니다. 따라서 다음과 같습니다.
$$\text{pH} = -\log_{10}\left( 1.3328 \times 10^{-3} \right) \approx 2.88$$
자주 묻는 질문
왜 \(\sqrt{\text{K}_a \cdot \text{C}}\) 대신 이차방정식을 쓰나요? 간단한 근사식은 \(x\)가 \(\text{C}\)에 비해 아주 작다고 가정합니다. 하지만 묽거나 비교적 강한 약산에서는 이 가정이 성립하지 않으므로, 이차방정식이 더 믿을 만한 답을 줍니다.
다양성자산에도 적용되나요? 이 계산기는 첫 번째 이온화만 다룹니다. 이양성자산이나 삼양성자산의 경우 이후의 평형은 따로 계산해야 합니다.
pOH는 어떤 온도를 기준으로 하나요? pOH는 \(\text{K}_w = 10^{-14}\)를 사용하며, 이는 25 °C에서 유효합니다. 온도가 달라지면 \(\text{K}_w\)도 바뀝니다.
