Что такое размещение без повторений?
Размещение без повторений — это количество различных упорядоченных выборок, которые можно составить, выбрав r элементов из множества n различных элементов, причём ни один элемент не используется дважды. Поскольку порядок важен, выборка ABC считается отдельно от CBA. Это одно из базовых понятий комбинаторики, которое применяют в теории вероятностей, составлении расписаний, оценке стойкости паролей и задачах ранжирования.
Как пользоваться калькулятором
Введите общее число различных элементов n и количество элементов, которые нужно разместить, r. Калькулятор мгновенно покажет \(P(n, r)\) — число упорядоченных размещений. Значение \(r\) должно быть не больше \(n\); если \(r\) превышает \(n\), результат равен 0, ведь выбрать больше элементов, чем есть, невозможно.
Разбор формулы
Формула выглядит так: $$P(n, r) = \frac{\text{n}!}{\left(\text{n} - \text{r}\right)!}$$ Факториал \(n!\) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до \(n\). Деление на \((n - r)!\) сокращает «хвост» множителей и оставляет произведение \(r\) убывающих сомножителей сверху: \(n \times (n - 1) \times \ldots \times (n - r + 1)\). Калькулятор перемножает именно эти \(r\) множителей напрямую — так не приходится вычислять огромные факториалы, а результат остаётся точным.
Пример с решением
Допустим, в забеге участвуют 8 бегунов, и нужно узнать число возможных пьедесталов «золото–серебро–бронза» (\(r = 3\), \(n = 8\)). Тогда $$P(8, 3) = 8 \times 7 \times 6 = 336.$$ Значит, существует 336 различных упорядоченных вариантов распределения призовых мест.
Частые вопросы
Чем это отличается от сочетания? В сочетании порядок не учитывается, поэтому \(P(n, r)\) дополнительно делится на \(r!\). Размещения считают упорядоченные выборки, а сочетания — неупорядоченные.
А если r равно n? Тогда \(P(n, n) = n!\) — это число способов расположить все элементы в последовательность (перестановки).
Могут ли n или r быть нулём? Да. \(P(n, 0) = 1\) (один способ ничего не выбрать), и \(P(0, 0) = 1\).
