重複なしの順列とは？
重複なしの順列とは、互いに異なる n 個のものの中から r 個を選んで並べるとき、そのちがう並べ方が何通りあるかを数えたものです。同じものは二度使えません。順列では「並ぶ順番」が意味を持つため、ABC と CBA は別々の並べ方として数えます。これは組合せ論の基本のひとつで、確率の計算、スケジュール作成、パスワード強度の見積もり、ランキング問題などで広く使われます。
この計算ツールの使い方
異なるものの総数 n と、並べたい個数 r を入力してください。並べ方の総数である \(P(n, r)\) がすぐに表示されます。r は n 以下でなければなりません。r が n より大きい場合、存在する数より多く選ぶことはできないため、結果は 0 になります。
公式の解説
公式は $$P(n, r) = \frac{\text{n}!}{\left(\text{n} - \text{r}\right)!}$$ です。階乗 \(n!\) は 1 から n までのすべての正の整数を掛け合わせた値です。\((n - r)!\) で割ると後ろ側の項が打ち消され、上位 r 個の項の積、つまり \(n \times (n - 1) \times \dots \times (n - r + 1)\) が残ります。この計算ツールは巨大な階乗を計算せず、この r 個の項を直接掛け合わせるため、結果が正確に保たれます。
計算例
たとえば 8 人のランナーが競い、金・銀・銅の表彰台に立つ組み合わせ（r = 3、n = 8）が何通りあるかを考えてみましょう。このとき $$P(8, 3) = 8 \times 7 \times 6 = 336$$ となります。つまり、順位の付いた表彰台の結果は 336 通りあることになります。
よくある質問
組合せとは何が違うの？ 組合せは順番を区別しないため、\(P(n, r)\) を \(r!\) で割ります。順列は「並べる順番」を区別し、組合せは「選ぶだけ（順番を問わない）」を数えます。
r が n と等しいときは？ このとき \(P(n, n) = n!\) となり、すべてのものを一列に並べる並べ方の総数になります。
n や r が 0 でもいいの？ はい。\(P(n, 0) = 1\)（何も並べない並べ方が 1 通り）であり、\(P(0, 0) = 1\) です。
