ما هو التبديل بدون تكرار؟
التبديل بدون تكرار هو عدد الترتيبات المرتّبة المختلفة التي يمكنك تكوينها عند اختيار r عنصرًا من مجموعة تتألف من n عنصرًا متمايزًا، دون إعادة استخدام أي عنصر. وبما أن الترتيب مهم هنا، فإن الترتيب «أ ب ج» يُحسب منفصلًا عن «ج ب أ». ويُعدّ هذا المفهوم أحد ركائز علم التوافيق، إذ يُستخدم في حساب الاحتمالات، وجدولة المهام، وتقدير قوة كلمات المرور، ومسائل الترتيب والتصنيف.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل العدد الإجمالي للعناصر المتمايزة n وعدد العناصر التي ترغب في ترتيبها r. تعرض لك الحاسبة فورًا قيمة \(P(n, r)\)، أي عدد الترتيبات المرتّبة. يجب أن تكون قيمة \(r\) أصغر من أو تساوي \(n\)؛ فإذا كانت \(r\) أكبر، تكون النتيجة 0 لأنك لا تستطيع اختيار عناصر أكثر من العدد المتوفر.
شرح الصيغة
الصيغة هي $$P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!}$$ ومضروب العدد \(n!\) هو حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة حتى \(n\). وعند القسمة على \((n - r)!\) تُختصر الحدود الأخيرة، فيتبقّى حاصل ضرب أعلى \(r\) من العوامل المتناقصة: \(n \times (n - 1) \times \ldots \times (n - r + 1)\). تقوم هذه الحاسبة بضرب هذه الحدود الـ \(r\) مباشرةً، مما يتجنّب حساب مضاريب ضخمة ويحافظ على دقة النتيجة.
مثال محلول
افترض أن 8 عدّائين يتنافسون، وتريد معرفة عدد منصّات التتويج الممكنة بميداليات ذهبية وفضية وبرونزية (\(r = 3\)، \(n = 8\)). عندئذٍ تكون $$P(8, 3) = 8 \times 7 \times 6 = 336.$$ أي أن هناك 336 نتيجة مرتّبة مختلفة لمنصّة التتويج.
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين هذا والتوافيق؟ التوافيق تتجاهل الترتيب، لذا تقسم \(P(n, r)\) على \(r!\). فالتباديل تعدّ الترتيبات المرتّبة، أما التوافيق فتعدّ الاختيارات غير المرتّبة.
ماذا لو كانت r تساوي n؟ عندئذٍ تكون \(P(n, n) = n!\)، أي عدد طرق ترتيب جميع العناصر في تسلسل واحد.
هل يمكن أن تكون n أو r صفرًا؟ نعم. \(P(n, 0) = 1\) (طريقة واحدة لعدم ترتيب أي شيء)، وكذلك \(P(0, 0) = 1\).
