बिना पुनरावृत्ति का क्रमचय क्या है?
बिना पुनरावृत्ति वाला क्रमचय (permutation) यह बताता है कि n अलग-अलग वस्तुओं के समूह में से r वस्तुएँ चुनकर आप कितने भिन्न क्रमबद्ध विन्यास बना सकते हैं, जबकि किसी भी वस्तु को दोबारा इस्तेमाल नहीं किया जा सकता। चूँकि यहाँ क्रम मायने रखता है, इसलिए ABC और CBA को अलग-अलग गिना जाता है। यह संचय (combinatorics) की एक बुनियादी अवधारणा है, जिसका उपयोग प्रायिकता, शेड्यूलिंग, पासवर्ड की मजबूती के आकलन और रैंकिंग जैसी समस्याओं में होता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
कुल अलग-अलग वस्तुओं की संख्या n और जितनी वस्तुएँ आप व्यवस्थित करना चाहते हैं उनकी संख्या r दर्ज करें। कैलकुलेटर तुरंत \(P(n, r)\) यानी क्रमबद्ध विन्यासों की संख्या दिखा देगा। ध्यान रहे कि \(r\) का मान \(n\) से कम या उसके बराबर होना चाहिए; यदि \(r\) बड़ा हो तो परिणाम 0 आएगा, क्योंकि जितनी वस्तुएँ मौजूद हैं उससे अधिक नहीं चुनी जा सकतीं।
सूत्र को समझें
सूत्र है $$P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!}$$ यहाँ क्रमगुणित (factorial) \(n!\) का अर्थ है 1 से लेकर \(n\) तक के सभी धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल। \((n - r)!\) से भाग देने पर अंत के पद कट जाते हैं और ऊपर के \(r\) घटते हुए गुणनखंड बचते हैं: \(n \times (n - 1) \times \ldots \times (n - r + 1)\)। यह कैलकुलेटर सीधे इन्हीं \(r\) पदों को गुणा करता है, जिससे बड़े-बड़े factorial निकालने की ज़रूरत नहीं पड़ती और परिणाम सटीक रहता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए 8 धावक दौड़ में हिस्सा ले रहे हैं और आप जानना चाहते हैं कि स्वर्ण–रजत–कांस्य (गोल्ड–सिल्वर–ब्रॉन्ज़) पोडियम कितने तरीकों से बन सकता है (\(r = 3\), \(n = 8\))। तब $$P(8, 3) = 8 \times 7 \times 6 = 336$$ यानी पोडियम के 336 अलग-अलग क्रमबद्ध परिणाम संभव हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
यह संचय (combination) से कैसे अलग है? संचय में क्रम मायने नहीं रखता, इसलिए उसमें \(P(n, r)\) को \(r!\) से भाग दिया जाता है। क्रमचय क्रमबद्ध विन्यास गिनता है, जबकि संचय बिना क्रम वाले चयन गिनता है।
यदि r और n बराबर हों तो? तब \(P(n, n) = n!\) होता है, यानी सभी वस्तुओं को एक क्रम में व्यवस्थित करने के कुल तरीके।
क्या n या r शून्य हो सकते हैं? हाँ। \(P(n, 0) = 1\) (कुछ भी व्यवस्थित न करने का एक ही तरीका) और \(P(0, 0) = 1\) होता है।
