중복 없는 순열이란?
중복 없는 순열은 서로 다른 n개의 원소로 이루어진 집합에서 r개를 골라 순서대로 나열할 때 만들 수 있는 서로 다른 경우의 수를 뜻합니다. 단, 같은 원소를 두 번 사용할 수는 없습니다. 순서를 따지기 때문에 ABC와 CBA는 서로 다른 배열로 셉니다. 이는 조합론의 핵심 개념 중 하나로, 확률 계산, 일정 짜기, 비밀번호 강도 추정, 순위 문제 등에서 폭넓게 활용됩니다.
계산기 사용법
서로 다른 원소의 전체 개수 n과 나열하고 싶은 개수 r을 입력하세요. 그러면 순서를 고려한 배열의 수 \(P(n, r)\)이 곧바로 표시됩니다. \(r\) 값은 반드시 \(n\)보다 작거나 같아야 합니다. 만약 \(r\)이 \(n\)보다 크면 존재하는 개수보다 많이 뽑을 수 없으므로 결과는 0이 됩니다.
공식 자세히 보기
공식은 다음과 같습니다.
$$P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!}$$여기서 팩토리얼 \(n!\)은 1부터 \(n\)까지 모든 양의 정수를 곱한 값입니다. \((n - r)!\)로 나누면 뒷부분의 항들이 약분되어, 위에서부터 내려오는 \(r\)개의 항만 곱한 형태인 \(n \times (n - 1) \times \ldots \times (n - r + 1)\)이 남습니다. 이 계산기는 이 \(r\)개의 항을 직접 곱하기 때문에 거대한 팩토리얼을 계산할 필요가 없고, 결과도 정확하게 유지됩니다.
예제로 이해하기
8명의 선수가 경기에 참가했고, 금메달·은메달·동메달 시상대에 오를 수 있는 경우의 수(\(r = 3\), \(n = 8\))를 구한다고 해봅시다. 이때 다음과 같습니다.
$$P(8, 3) = 8 \times 7 \times 6 = 336$$즉, 순서를 고려한 시상대 결과는 336가지가 나옵니다.
자주 묻는 질문
조합과는 무엇이 다른가요? 조합은 순서를 따지지 않으므로 \(P(n, r)\)을 \(r!\)로 나눕니다. 순열은 순서를 고려한 배열의 수를, 조합은 순서를 따지지 않는 선택의 수를 셉니다.
r이 n과 같으면 어떻게 되나요? 이때 \(P(n, n) = n!\)이 되며, 이는 모든 원소를 일렬로 배열하는 경우의 수와 같습니다.
n이나 r이 0이어도 되나요? 네, 가능합니다. \(P(n, 0) = 1\)(아무것도 배열하지 않는 한 가지 방법)이고, \(P(0, 0) = 1\)입니다.
