Chỉnh hợp không lặp là gì?
Chỉnh hợp không lặp là số cách sắp xếp có thứ tự khác nhau khi bạn chọn r phần tử từ một tập gồm n phần tử khác nhau, trong đó mỗi phần tử chỉ được dùng một lần. Vì thứ tự đóng vai trò quan trọng nên cách sắp xếp ABC được tính riêng so với CBA. Đây là một trong những nền tảng của tổ hợp, được dùng nhiều trong xác suất, lập lịch, ước lượng độ mạnh mật khẩu và các bài toán xếp hạng.
Cách sử dụng máy tính
Nhập tổng số phần tử khác nhau n và số phần tử bạn muốn sắp xếp r. Máy tính sẽ trả về ngay \(P(n, r)\), tức số cách sắp xếp có thứ tự. Giá trị \(r\) phải nhỏ hơn hoặc bằng \(n\); nếu \(r\) lớn hơn, kết quả sẽ là 0 vì bạn không thể chọn nhiều phần tử hơn số phần tử hiện có.
Giải thích công thức
Công thức là $$P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!}.$$ Giai thừa \(n!\) là tích của tất cả các số nguyên dương từ 1 đến \(n\). Khi chia cho \((n - r)!\), các thừa số phía sau được rút gọn, chỉ còn lại tích của \(r\) thừa số giảm dần từ đầu: \(n \times (n - 1) \times \ldots \times (n - r + 1)\). Máy tính nhân trực tiếp \(r\) thừa số này, nhờ đó tránh phải tính những giai thừa khổng lồ và giữ cho kết quả luôn chính xác.
Ví dụ minh họa
Giả sử có 8 vận động viên cùng tranh tài và bạn muốn biết số bục huy chương vàng–bạc–đồng có thể xảy ra (\(r = 3\), \(n = 8\)). Khi đó $$P(8, 3) = 8 \times 7 \times 6 = 336.$$ Vậy có 336 kết quả xếp hạng trên bục khác nhau.
Câu hỏi thường gặp
Chỉnh hợp khác tổ hợp ở điểm nào? Tổ hợp không quan tâm đến thứ tự, nên phải chia \(P(n, r)\) cho \(r!\). Chỉnh hợp đếm các cách sắp xếp có thứ tự, còn tổ hợp đếm các cách chọn không xét thứ tự.
Nếu r bằng n thì sao? Khi đó \(P(n, n) = n!\), chính là số cách sắp xếp toàn bộ các phần tử thành một dãy.
n hoặc r có thể bằng 0 không? Có. \(P(n, 0) = 1\) (chỉ có một cách sắp xếp khi không chọn gì cả) và \(P(0, 0) = 1\).
