Qu'est-ce qu'une permutation sans répétition ?
Une permutation sans répétition correspond au nombre d'arrangements ordonnés distincts que l'on peut former en choisissant r éléments parmi un ensemble de n éléments différents, sans jamais réutiliser un même élément. Comme l'ordre compte, l'arrangement ABC est compté séparément de CBA. C'est l'une des notions fondamentales de l'analyse combinatoire, utilisée en probabilités, en planification, dans l'estimation de la robustesse des mots de passe ou encore dans les problèmes de classement.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez le nombre total d'éléments distincts n ainsi que le nombre d'éléments à arranger r. Le calculateur affiche instantanément \(P(n, r)\), c'est-à-dire le nombre d'arrangements ordonnés. La valeur de \(r\) doit être inférieure ou égale à \(n\) : si \(r\) est plus grand, le résultat est 0, car on ne peut pas choisir plus d'éléments qu'il n'en existe.
La formule expliquée
La formule s'écrit $$P(n, r) = \frac{\text{n}!}{\left(\text{n} - \text{r}\right)!}$$ La factorielle \(n!\) est le produit de tous les entiers positifs jusqu'à \(n\). Diviser par \((n - r)!\) supprime les derniers termes et ne laisse que le produit des \(r\) premiers facteurs décroissants : \(n \times (n - 1) \times \ldots \times (n - r + 1)\). Ce calculateur multiplie directement ces \(r\) termes, ce qui évite de calculer des factorielles gigantesques tout en garantissant un résultat précis.
Exemple concret
Imaginons une course avec 8 coureurs et que l'on cherche le nombre de podiums or–argent–bronze possibles (\(r = 3\), \(n = 8\)). On obtient alors $$P(8, 3) = 8 \times 7 \times 6 = 336$$ Il existe donc 336 podiums ordonnés différents.
FAQ
Quelle est la différence avec une combinaison ? Une combinaison ne tient pas compte de l'ordre : elle divise donc \(P(n, r)\) par \(r!\). Les permutations comptent les arrangements ordonnés, tandis que les combinaisons comptent les sélections non ordonnées.
Que se passe-t-il si r est égal à n ? Dans ce cas, \(P(n, n) = n!\), soit le nombre de façons de ranger tous les éléments dans une suite.
n ou r peuvent-ils être nuls ? Oui. \(P(n, 0) = 1\) (une seule façon de n'arranger aucun élément) et \(P(0, 0) = 1\).
