Örneklem Ortalamasının Örnekleme Dağılımı Nedir?
Bir anakütleden n büyüklüğünde rastgele örneklemleri tekrar tekrar çekip her örneklemin ortalamasını hesapladığınızda, bu ortalamalar kendi başına bir dağılım oluşturur: işte buna örneklem ortalamasının örnekleme dağılımı denir. Bu hesaplama aracı, söz konusu dağılımın merkezini (ortalama) ve yayılımını (standart hata) üç girdiden bulur: anakütle ortalaması \(\mu\), anakütle standart sapması \(\sigma\) ve örneklem büyüklüğü \(n\).
Bu Aracı Nasıl Kullanırsınız?
Anakütle ortalamasını (\(\mu\)), anakütle standart sapmasını (\(\sigma\)) ve örneklem büyüklüğünüzü (\(n\)) girin. Araç size örnekleme dağılımının ortalamasını (\(\mu_{\bar{x}}\)), standart hatayı (\(\sigma_{\bar{x}}\)) ve örneklem ortalamasının varyansını (\(\sigma_{\bar{x}}^{2}\)) verir. Standart hata, örneklem ortalamalarının gerçek anakütle ortalamasından genellikle ne kadar saptığını gösterir.
Formülün Açıklaması
Örnekleme dağılımının ortalaması her zaman anakütle ortalamasına eşittir: \(\mu_{\bar{x}} = \mu\). Yayılım ise örneklemler büyüdükçe azalır:
$$\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$\(n\)'in kareköküne böldüğümüz için örneklem büyüklüğünü iki katına çıkarmak standart hatayı yarıya indirmez; standart hatayı yarıya düşürmek için \(n\)'i dört katına çıkarmanız gerekir. Merkezi Limit Teoremi gereği, büyük \(n\) değerlerinde bu dağılım anakütlenin şekli ne olursa olsun yaklaşık olarak normaldir.
Çözümlü Örnek
Diyelim ki \(\mu = 100\), \(\sigma = 15\) ve \(n = 25\). Bu durumda \(\mu_{\bar{x}} = 100\) ve
$$\sigma_{\bar{x}} = \frac{15}{\sqrt{25}} = \frac{15}{5} = 3$$olur. Varyans ise \(\sigma_{\bar{x}}^{2} = 3^{2} = 9\)'dur. Yani 25 gözlemden oluşan örneklem ortalamaları, 3 standart hatayla 100 değerinin etrafında kümelenir.
Sıkça Sorulan Sorular
Örneklem büyüdükçe standart hata neden küçülür? Daha büyük örneklemler rastgele dalgalanmaları ortalama yoluyla dengeler; bu yüzden ortalamaları gerçek ortalamanın etrafında daha sıkı toplanır.
Anakütlenin normal dağılması gerekir mi? Buradaki formüller için gerekmez. Ortalama ve standart hata her anakütle için kesindir. Örnekleme dağılımının normalliği ise Merkezi Limit Teoremi sayesinde büyük \(n\) değerlerinde yaklaşık olarak geçerlidir.
Elimde yalnızca örneklem standart sapması varsa ne yaparım? \(\sigma\) bilinmiyorsa örneklem standart sapması \(s\)'yi tahmin olarak kullanın; bu durumda standart hata \(s/\sqrt{n}\) olur ve genellikle t-dağılımıyla birlikte kullanılır.
