표본평균의 표집분포 계산기 (표준오차 σ/√n)

결과

평균의 표준오차 (σx̄)

σ / √n

표집분포의 평균 (μx̄)	100
표본평균의 분산 (σx̄²)	9

표본평균의 표집분포란?

크기가 n인 무작위 표본을 모집단에서 반복해서 뽑고 각 표본의 평균을 계산하면, 이 평균값들이 모여 또 하나의 분포를 이룹니다. 이것이 바로 표본평균의 표집분포입니다. 이 계산기는 세 가지 값, 즉 모집단 평균 $\mu$, 모집단 표준편차 $\sigma$, 표본 크기 $n$만 입력하면 표집분포의 중심(평균)과 퍼짐(표준오차)을 구해 줍니다.

넓은 모집단 분포와 같은 값을 중심으로 하는 더 좁은 평균의 표본분포 — 평균의 표본분포는 모평균을 중심으로 하며, 표본 크기가 커질수록 좁아집니다.

계산기 사용 방법

모집단 평균($\mu$), 모집단 표준편차($\sigma$), 표본 크기($n$)를 입력하세요. 그러면 표집분포의 평균($\mu_{\bar{x}}$), 표준오차($\sigma_{\bar{x}}$), 표본평균의 분산($\sigma_{\bar{x}}^{2}$)이 함께 나옵니다. 표준오차는 표본평균들이 실제 모집단 평균에서 보통 얼마나 떨어져 흩어지는지를 알려 주는 값입니다.

공식 풀이

표집분포의 평균은 언제나 모집단 평균과 같습니다. 즉 $\mu_{\bar{x}} = \mu$입니다. 반면 퍼짐은 표본이 커질수록 줄어듭니다:

$$\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

$n$의 제곱근으로 나누기 때문에, 표본 크기를 두 배로 늘려도 표준오차는 절반이 되지 않습니다. 표준오차를 절반으로 줄이려면 $n$을 4배로 늘려야 합니다. 또한 중심극한정리에 따르면, $n$이 충분히 크면 모집단의 모양과 상관없이 이 분포는 근사적으로 정규분포를 따릅니다.