什麼是樣本平均數的抽樣分配？
如果你從一個母體中反覆抽取大小為 \(n\) 的隨機樣本，並計算每一組樣本的平均數，這些平均數本身也會形成一個分配，這就是樣本平均數的抽樣分配。本計算器只要三個數值，就能算出這個分配的中心（平均數）與離散程度（標準誤）：母體平均數 \(\mu\)、母體標準差 \(\sigma\)，以及樣本數 \(n\)。
如何使用本計算器
輸入母體平均數（\(\mu\)）、母體標準差（\(\sigma\)）與你的樣本數（\(n\)），工具會回傳抽樣分配的平均數（\(\mu_{\bar{x}}\)）、標準誤（\(\sigma_{\bar{x}}\)）以及樣本平均數的變異數（\(\sigma_{\bar{x}}^{2}\)）。標準誤代表的是：各組樣本平均數與真正母體平均數之間，通常會有多大的偏離程度。
公式解析
抽樣分配的平均數永遠等於母體平均數：\(\mu_{\bar{x}} = \mu\)。而離散程度則會隨著樣本變大而縮小：\(\sigma_{\bar{x}} = \sigma/\sqrt{n}\)。
$$\mu_{\bar{x}} = \mu \qquad \sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$由於分母是 \(n\) 的平方根，所以樣本數加倍並不會讓標準誤減半——想把標準誤砍掉一半，必須把 \(n\) 變成四倍。根據中央極限定理，當 \(n\) 夠大時，不論母體原本的形狀如何，這個抽樣分配都會近似常態分配。
範例演練
假設 \(\mu = 100\)、\(\sigma = 15\)、\(n = 25\)。那麼 \(\mu_{\bar{x}} = 100\)，
$$\sigma_{\bar{x}} = \frac{15}{\sqrt{25}} = \frac{15}{5} = 3$$變異數為 \(\sigma_{\bar{x}}^{2} = 3^{2} = 9\)。換句話說，由 25 筆觀測值算出的樣本平均數，會集中在 100 附近，標準誤為 3。
常見問題
為什麼樣本越大，標準誤就越小？樣本越大，隨機波動越容易被平均掉，因此各組樣本平均數會更緊密地圍繞在真正的平均數附近。
母體一定要呈常態分配嗎？就這裡的公式而言並不需要。無論母體為何種分配，平均數與標準誤的計算都是精確的。至於抽樣分配本身要近似常態，則需透過中央極限定理，在 \(n\) 夠大時成立。
如果我只有樣本標準差怎麼辦？當 \(\sigma\) 未知時，可改用樣本標準差 \(s\) 作為估計值，此時標準誤變成 \(s/\sqrt{n}\)，通常會搭配 \(t\) 分配一起使用。
