Phân phối mẫu của trung bình mẫu là gì?
Khi bạn liên tục rút các mẫu ngẫu nhiên có cỡ n từ một tổng thể và tính trung bình của từng mẫu, tập hợp các giá trị trung bình ấy sẽ tạo nên một phân phối riêng — gọi là phân phối mẫu của trung bình mẫu. Máy tính này xác định tâm (trung bình) và độ phân tán (sai số chuẩn) của phân phối đó dựa trên ba đại lượng đầu vào: trung bình tổng thể μ, độ lệch chuẩn tổng thể σ và cỡ mẫu n.
Cách sử dụng máy tính
Hãy nhập trung bình tổng thể (μ), độ lệch chuẩn tổng thể (σ) và cỡ mẫu (n) của bạn. Công cụ sẽ trả về trung bình của phân phối mẫu (μx̄), sai số chuẩn (σx̄) và phương sai của trung bình mẫu (σx̄²). Sai số chuẩn cho biết các trung bình mẫu thường dao động bao nhiêu quanh trung bình thực của tổng thể.
Giải thích công thức
Trung bình của phân phối mẫu luôn bằng trung bình tổng thể: \(\mu_{\bar{x}} = \mu\). Độ phân tán giảm dần khi mẫu lớn hơn:
$$\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$Vì ta chia cho căn bậc hai của \(n\) nên việc tăng gấp đôi cỡ mẫu không làm giảm một nửa sai số chuẩn — muốn giảm sai số chuẩn đi một nửa, bạn phải tăng \(n\) lên gấp bốn lần. Theo Định lý Giới hạn Trung tâm, với \(n\) đủ lớn thì phân phối này xấp xỉ phân phối chuẩn, bất kể tổng thể ban đầu có dạng phân phối nào.
Ví dụ minh họa
Giả sử \(\mu = 100\), \(\sigma = 15\) và \(n = 25\). Khi đó \(\mu_{\bar{x}} = 100\), và
$$\sigma_{\bar{x}} = \frac{15}{\sqrt{25}} = \frac{15}{5} = 3$$Phương sai là \(\sigma_{\bar{x}}^{2} = 3^{2} = 9\). Như vậy, trung bình của các mẫu gồm 25 quan sát sẽ tập trung quanh giá trị 100 với sai số chuẩn bằng 3.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao sai số chuẩn nhỏ đi khi mẫu lớn hơn? Mẫu càng lớn càng giúp triệt tiêu các dao động ngẫu nhiên, nên trung bình của chúng bám sát hơn quanh trung bình thực.
Tổng thể có bắt buộc phải tuân theo phân phối chuẩn không? Không cần đối với các công thức ở đây. Trung bình và sai số chuẩn là chính xác với mọi tổng thể. Còn tính chuẩn của phân phối mẫu chỉ đúng một cách xấp xỉ khi \(n\) lớn, dựa theo Định lý Giới hạn Trung tâm.
Nếu tôi chỉ có độ lệch chuẩn của mẫu thì sao? Khi chưa biết \(\sigma\), hãy dùng độ lệch chuẩn mẫu \(s\) để ước lượng; khi đó sai số chuẩn trở thành \(s/\sqrt{n}\) và thường được dùng kèm với phân phối t (t-distribution).
