Qu'est-ce que la distribution d'échantillonnage de la moyenne ?
Lorsque vous prélevez à plusieurs reprises des échantillons aléatoires de taille n dans une population et que vous calculez la moyenne de chacun, ces moyennes forment à leur tour une distribution : la distribution d'échantillonnage de la moyenne. Ce calculateur en détermine le centre (la moyenne) et la dispersion (l'erreur type) à partir de trois données : la moyenne de la population \(\mu\), l'écart type de la population \(\sigma\) et la taille de l'échantillon \(n\).
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez la moyenne de la population (\(\mu\)), l'écart type de la population (\(\sigma\)) et la taille de votre échantillon (\(n\)). L'outil renvoie la moyenne de la distribution d'échantillonnage (\(\mu_{\bar{x}}\)), l'erreur type (\(\sigma_{\bar{x}}\)) et la variance de la moyenne d'échantillon (\(\sigma_{\bar{x}}^{2}\)). L'erreur type indique dans quelle mesure les moyennes d'échantillon s'écartent généralement de la véritable moyenne de la population.
La formule expliquée
La moyenne de la distribution d'échantillonnage est toujours égale à la moyenne de la population : \(\mu_{\bar{x}} = \mu\). La dispersion, elle, diminue à mesure que les échantillons grandissent :
$$\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$Comme on divise par la racine carrée de \(n\), doubler la taille de l'échantillon ne réduit pas l'erreur type de moitié : il faut quadrupler \(n\) pour diviser l'erreur type par deux. D'après le théorème central limite, pour un grand \(n\) cette distribution est approximativement normale, quelle que soit la forme de la population.
Exemple résolu
Supposons que \(\mu = 100\), \(\sigma = 15\) et \(n = 25\). On a alors \(\mu_{\bar{x}} = 100\) et
$$\sigma_{\bar{x}} = \frac{15}{\sqrt{25}} = \frac{15}{5} = 3$$La variance vaut \(\sigma_{\bar{x}}^{2} = 3^{2} = 9\). Les moyennes d'échantillons de 25 observations se regroupent donc autour de 100 avec une erreur type de 3.
FAQ
Pourquoi l'erreur type diminue-t-elle avec des échantillons plus grands ? Des échantillons plus grands lissent les fluctuations aléatoires : leurs moyennes se resserrent davantage autour de la véritable moyenne.
La population doit-elle suivre une loi normale ? Pas pour les formules présentées ici. La moyenne et l'erreur type sont exactes pour n'importe quelle population. La normalité de la distribution d'échantillonnage n'est qu'approximative et n'apparaît que pour un grand \(n\), grâce au théorème central limite.
Et si je ne dispose que de l'écart type de l'échantillon ? Si \(\sigma\) est inconnu, utilisez l'écart type de l'échantillon \(s\) comme estimation ; l'erreur type devient alors \(s/\sqrt{n}\), souvent associée à la loi de Student (loi t).
