¿Qué es la distribución muestral de la media?
Cuando extraes de forma repetida muestras aleatorias de tamaño n de una población y calculas la media de cada muestra, esas medias forman su propia distribución: la distribución muestral de la media. Esta calculadora determina su centro (la media) y su dispersión (el error estándar) a partir de tres datos: la media poblacional \(\mu\), la desviación típica poblacional \(\sigma\) y el tamaño de la muestra \(n\).
Cómo usar esta calculadora
Introduce la media poblacional (\(\mu\)), la desviación típica poblacional (\(\sigma\)) y el tamaño de tu muestra (\(n\)). La herramienta te devuelve la media de la distribución muestral (\(\mu_{\bar{x}}\)), el error estándar (\(\sigma_{\bar{x}}\)) y la varianza de la media muestral (\(\sigma_{\bar{x}}^{2}\)). El error estándar indica cuánto suelen variar las medias muestrales respecto a la verdadera media poblacional.
La fórmula, paso a paso
La media de la distribución muestral siempre coincide con la media poblacional: \(\mu_{\bar{x}} = \mu\). La dispersión se reduce a medida que las muestras son más grandes:
$$\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$Como dividimos entre la raíz cuadrada de \(n\), duplicar el tamaño de la muestra no reduce a la mitad el error estándar: hay que cuadruplicar \(n\) para dividir el error estándar entre dos. Según el teorema central del límite, para valores grandes de \(n\) esta distribución es aproximadamente normal, sea cual sea la forma de la población.
Ejemplo resuelto
Supongamos que \(\mu = 100\), \(\sigma = 15\) y \(n = 25\). Entonces \(\mu_{\bar{x}} = 100\) y
$$\sigma_{\bar{x}} = \frac{15}{\sqrt{25}} = \frac{15}{5} = 3$$La varianza es \(\sigma_{\bar{x}}^{2} = 3^{2} = 9\). Así, las medias de muestras de 25 observaciones se agrupan en torno a 100 con un error estándar de 3.
Preguntas frecuentes
¿Por qué el error estándar disminuye con muestras más grandes? Las muestras más grandes promedian las fluctuaciones aleatorias, de modo que sus medias se concentran más cerca de la media verdadera.
¿La población tiene que ser normal? No para las fórmulas que aquí usamos. La media y el error estándar son exactos para cualquier población. La normalidad de la distribución muestral se cumple de forma aproximada cuando \(n\) es grande, gracias al teorema central del límite.
¿Y si solo conozco la desviación típica de la muestra? Si \(\sigma\) es desconocida, utiliza la desviación típica muestral \(s\) como estimación; el error estándar pasa a ser \(s/\sqrt{n}\), que suele emplearse junto con la distribución t.
