Что такое выборочное распределение выборочного среднего?
Если многократно извлекать из генеральной совокупности случайные выборки объёмом n и для каждой считать среднее, то эти средние сами образуют новое распределение — выборочное распределение выборочного среднего. Данный калькулятор определяет его центр (среднее) и разброс (стандартную ошибку) по трём исходным значениям: среднему генеральной совокупности μ, стандартному отклонению совокупности σ и объёму выборки n.
Как пользоваться калькулятором
Введите среднее генеральной совокупности (μ), стандартное отклонение совокупности (σ) и объём выборки (n). Инструмент вернёт среднее выборочного распределения (μx̄), стандартную ошибку (σx̄) и дисперсию выборочного среднего (σx̄²). Стандартная ошибка показывает, насколько в среднем выборочные средние отклоняются от истинного среднего совокупности.
Разбор формулы
Среднее выборочного распределения всегда равно среднему генеральной совокупности: \(\mu_{\bar{x}} = \mu\). Разброс уменьшается с ростом объёма выборки:
$$\mu_{\bar{x}} = \text{Mean } \mu \qquad \sigma_{\bar{x}} = \frac{\text{Std Dev } \sigma}{\sqrt{\text{Sample Size } n}}$$Поскольку мы делим на квадратный корень из n, удвоение объёма выборки не уменьшает стандартную ошибку вдвое — чтобы сократить её в два раза, нужно увеличить n в четыре раза. Согласно центральной предельной теореме, при больших n это распределение приближённо нормальное независимо от формы исходной совокупности.
Разбор примера
Пусть \(\mu = 100\), \(\sigma = 15\) и \(n = 25\). Тогда \(\mu_{\bar{x}} = 100\), а
$$\sigma_{\bar{x}} = \frac{15}{\sqrt{25}} = \frac{15}{5} = 3$$Дисперсия равна \(\sigma_{\bar{x}}^{2} = 3^{2} = 9\). Таким образом, средние по выборкам из 25 наблюдений группируются вокруг 100 со стандартной ошибкой 3.
Частые вопросы
Почему стандартная ошибка уменьшается при больших выборках? В больших выборках случайные колебания усредняются, поэтому их средние теснее сгруппированы вокруг истинного среднего.
Должна ли совокупность быть нормальной? Для приведённых формул — нет. Среднее и стандартная ошибка точны для любой совокупности. Нормальность самого выборочного распределения выполняется приближённо при больших n благодаря центральной предельной теореме.
Что делать, если известно только выборочное стандартное отклонение? Если σ неизвестно, используйте выборочное стандартное отклонение s в качестве оценки; тогда стандартная ошибка становится равной \(s/\sqrt{n}\) и часто применяется вместе с t-распределением.
