ما هو التوزيع المعايني لمتوسط العينة؟
عندما تسحب مرارًا وتكرارًا عينات عشوائية بحجم n من مجتمع إحصائي وتحسب متوسط كل عينة، فإن هذه المتوسطات تكوّن توزيعًا خاصًا بها يُعرف باسم التوزيع المعايني لمتوسط العينة. تحسب لك هذه الأداة مركز هذا التوزيع (المتوسط) ومدى تشتته (الخطأ المعياري) اعتمادًا على ثلاثة مدخلات: متوسط المجتمع \(\mu\)، والانحراف المعياري للمجتمع \(\sigma\)، وحجم العينة \(n\).
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل متوسط المجتمع (\(\mu\)) والانحراف المعياري للمجتمع (\(\sigma\)) وحجم العينة (\(n\)). تعرض لك الأداة متوسط التوزيع المعايني (\(\mu_{\bar{x}}\))، والخطأ المعياري (\(\sigma_{\bar{x}}\))، وتباين متوسط العينة (\(\sigma_{\bar{x}}^{2}\)). يخبرك الخطأ المعياري بمقدار التباعد المعتاد بين متوسطات العينات والمتوسط الحقيقي للمجتمع.
شرح المعادلة
يساوي متوسط التوزيع المعايني دائمًا متوسط المجتمع: \(\mu_{\bar{x}} = \mu\). أما التشتت فيتناقص كلما كبر حجم العينة وفق العلاقة:
$$\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$وبما أننا نقسم على الجذر التربيعي لـ \(n\)، فإن مضاعفة حجم العينة لا تُنقص الخطأ المعياري إلى النصف؛ بل عليك مضاعفة \(n\) أربع مرات لخفض الخطأ المعياري إلى النصف. ووفقًا لنظرية الحد المركزي، يقترب هذا التوزيع من التوزيع الطبيعي عند قيم \(n\) الكبيرة بصرف النظر عن شكل توزيع المجتمع الأصلي.
مثال محلول
لنفترض أن \(\mu = 100\)، و\(\sigma = 15\)، و\(n = 25\). عندها يكون \(\mu_{\bar{x}} = 100\)، و
$$\sigma_{\bar{x}} = \frac{15}{\sqrt{25}} = \frac{15}{5} = 3$$أما التباين فهو \(\sigma_{\bar{x}}^{2} = 3^{2} = 9\). وبذلك تتجمع متوسطات العينات المكوّنة من 25 مشاهدة حول القيمة 100 بخطأ معياري قدره 3.
الأسئلة الشائعة
لماذا يصغر الخطأ المعياري كلما كبرت العينة؟ لأن العينات الأكبر تُلطّف التقلبات العشوائية وتوازنها، فتصبح متوسطاتها أكثر تجمّعًا حول المتوسط الحقيقي.
هل يلزم أن يكون توزيع المجتمع طبيعيًا؟ ليس بالنسبة للمعادلات المستخدمة هنا، فقيمتا المتوسط والخطأ المعياري دقيقتان لأي مجتمع كان. أما اقتراب التوزيع المعايني من الطبيعي فيتحقق تقريبيًا عند قيم \(n\) الكبيرة بفضل نظرية الحد المركزي.
ماذا أفعل إن كان لديّ الانحراف المعياري للعينة فقط؟ إذا كانت \(\sigma\) مجهولة، استخدم الانحراف المعياري للعينة \(s\) كتقدير لها؛ عندها يصبح الخطأ المعياري \(s/\sqrt{n}\)، وغالبًا ما يُستعمل مع توزيع \(t\).
