標本平均の標本分布とは？
母集団から大きさ n の無作為標本を繰り返し抽出し、そのたびに標本平均を計算すると、得られた平均値そのものが一つの分布を形づくります。これが標本平均の標本分布です。この計算ツールでは、母平均 μ・母標準偏差 σ・標本サイズ n の3つを入力するだけで、その分布の中心（平均）と広がり（標準誤差）を求められます。
使い方
母平均（μ）、母標準偏差（σ）、そして標本サイズ（n）を入力してください。ツールは標本分布の平均（\(\mu_{\bar{x}}\)）、標準誤差（\(\sigma_{\bar{x}}\)）、標本平均の分散（\(\sigma_{\bar{x}}^{2}\)）を表示します。標準誤差は、標本平均が真の母平均からどの程度ばらつくかを示す目安です。
計算式の意味
標本分布の平均は、つねに母平均と一致します（\(\mu_{\bar{x}} = \mu\)）。一方、広がりは標本が大きくなるほど小さくなり、
$$\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$で表されます。ここで n の「平方根」で割る点がポイントです。つまり標本サイズを2倍にしても標準誤差は半分にはならず、半分にするには n を4倍にする必要があります。さらに中心極限定理により、n が十分大きければ、母集団の分布の形によらず標本分布はほぼ正規分布に近づきます。
計算例
たとえば μ = 100、σ = 15、n = 25 とします。このとき
$$\mu_{\bar{x}} = 100 \qquad \sigma_{\bar{x}} = \frac{15}{\sqrt{25}} = \frac{15}{5} = 3$$となります。分散は \(\sigma_{\bar{x}}^{2} = 3^{2} = 9\) です。つまり、25個の観測値から得られる標本平均は100を中心に、標準誤差3の範囲でまとまることになります。
よくある質問
なぜ標本が大きいほど標準誤差は小さくなるの？ 標本が大きいほど偶然のばらつきが平均化されて打ち消し合うため、標本平均は真の平均のまわりにより密集するからです。
母集団は正規分布である必要がありますか？ ここで使う計算式には必要ありません。平均と標準誤差は、どんな母集団でも正確に成り立ちます。ただし「標本分布が正規分布に近づく」性質は、中心極限定理により n が大きい場合に近似的に成立します。
標本標準偏差しか分からない場合は？ σ が未知のときは、標本標準偏差 s を推定値として使います。このとき標準誤差は \(s/\sqrt{n}\) となり、多くの場合 t 分布と組み合わせて用いられます。
