這個計算器的功能
本工具可求解一個經典的直流電路,電路由單一理想電壓源(電動勢 \(E_1\))與三個電阻組成。其拓樸結構為 \(R_1\) 串聯後,再接上 \(R_2\) 與 \(R_3\) 的並聯組合:電流 \(I_1\) 從電源流出並通過 \(R_1\),抵達節點後分流為 \(I_2\)(流經 \(R_2\))與 \(I_3\)(流經 \(R_3\)),接著兩條支路會合再流回電源。這是純粹的物理原理,在任何地方的計算結果都完全一致。
使用方式
輸入電源電壓 \(E_1\) 並選擇其單位(V、kV、mV 等)。接著輸入 \(R_1\)、\(R_2\) 與 \(R_3\);這三個電阻共用同一個單位選擇器(Ohm、kOhm、MOhm…)。系統會先將所有數值換算為 SI 單位的伏特與歐姆再進行求解,最後以安培為單位回傳三條支路電流。為求得正常解,請讓每個電阻值都大於零。
公式說明
根據克希荷夫電流定律,\(I_1 = I_2 + I_3\)。並聯區段的等效電阻為 \(R_p = \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3}\),因此電源所看到的總電阻為 \(R_{total} = R_1 + R_p\)。由歐姆定律可得電源電流 \(I_1 = \frac{E}{R_{total}}\)。並聯區段兩端的電壓為 \(V_p = I_1 \cdot R_p\),而每條支路所承載的電流即為 \(V_p\) 除以該支路自身的電阻,化簡後即為分流定則:
$$I_2 = I_1 \cdot \frac{R_3}{R_2 + R_3}, \quad I_3 = I_1 \cdot \frac{R_2}{R_2 + R_3}$$
實例演算
當 \(E = 12\,\text{V}\)、\(R_1 = 8\,\text{Ohm}\)、\(R_2 = 4\,\text{Ohm}\)、\(R_3 = 2\,\text{Ohm}\) 時:
$$R_p = \frac{4 \times 2}{4 + 2} = 1.3333\,\text{Ohm}, \quad R_{total} = 9.3333\,\text{Ohm}$$因此
$$I_1 = \frac{12}{9.3333} = 1.2857\,\text{A}$$分流後可得
$$I_2 = 1.2857 \times \frac{2}{6} = 0.4286\,\text{A}, \quad I_3 = 1.2857 \times \frac{4}{6} = 0.8571\,\text{A}$$驗算:\(0.4286 + 0.8571 = 1.2857\,\text{A} = I_1\),符合克希荷夫電流定律。
常見問題
為什麼電阻較小的支路反而通過較大的電流?在一組並聯電阻中,兩條支路共享相同的電壓,因此電流與電阻成反比——電阻較小的支路(此處為 \(R_3\))會通過較大的電流。
電壓可以是負值嗎?可以;負的電源只是把極性反轉,所有電流也會跟著變為負值。不過電阻必須為正值,結果才具有物理意義。
如果 \(R_2\) 或 \(R_3\) 為零會怎樣?電阻為零會將並聯區段短路(\(R_p = 0\)),因此所有電流都會繞過另一條支路——例如 \(R_2 = 0\) 會使 \(I_3 = 0\)、\(I_2 = I_1\)。若 \(R_1\) 與 \(R_p\) 同時為零,電路就成為理想短路,此時電流將回報為未定義。