Qu'est-ce qu'un décimal périodique ?
Un décimal périodique est un nombre dont les chiffres après la virgule finissent par se répéter à l'infini, comme 0,333…, 0,1666… ou encore 0,142857142857…. Tout décimal périodique est un nombre rationnel : il peut donc s'écrire exactement sous forme de fraction. Ce convertisseur transforme n'importe quel décimal périodique — avec une éventuelle partie entière et des chiffres non périodiques — en sa fraction la plus simple.
Comment utiliser le convertisseur
Saisissez la partie entière (les chiffres avant la virgule), les chiffres décimaux non périodiques (ceux qui suivent immédiatement la virgule mais qui ne se répètent pas) et les chiffres périodiques (le bloc qui se répète). Pour 0,1666…, la partie entière vaut 0, le chiffre non périodique est « 1 » et le chiffre périodique est « 6 ». Laissez le champ non périodique vide pour les décimaux purement périodiques comme 0,333….
La formule expliquée
Soit N la suite de chiffres non périodiques comportant \(m\) chiffres, et R la suite périodique comportant \(k\) chiffres. La partie périodique de la valeur est égale à $$\text{Fraction} = \text{Int} + \frac{\overline{\text{NonRep}\,\text{Rep}} - \text{NonRep}}{\left(10^{k} - 1\right)\cdot 10^{m}}$$ $$\begin{gathered} \text{Fraction} = \text{Int} + \frac{C - N}{\left(10^{k} - 1\right)\cdot 10^{m}} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} N &= \text{NonRep digits} \\ C &= \text{NonRep}\,\text{Rep}\ \text{(concatenated)} \\ m &= \operatorname{len}\left(\text{NonRep}\right) \\ k &= \operatorname{len}\left(\text{Rep}\right) \end{aligned} \right. \end{gathered}$$ où NR désigne les chiffres de N et de R écrits côte à côte comme un seul entier. On rajoute ensuite la partie entière, puis la fraction est réduite à l'aide du plus grand commun diviseur (PGCD).
Exemple résolu
Convertissons 0,1666…. Ici N = « 1 » (\(m = 1\)), R = « 6 » (\(k = 1\)), partie entière 0. NR = 16, N = 1, donc la fraction = $$\frac{16 - 1}{\left(10 - 1\right)\cdot 10} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}$$ La valeur décimale le confirme : \(1 \div 6 = 0{,}1666\ldots\).
FAQ
Et pour un décimal purement périodique comme 0,333… ? Laissez le champ non périodique vide et entrez 3 comme chiffre périodique : vous obtenez \(3/9 = 1/3\).
Puis-je convertir un décimal fini (non périodique) ? Oui — laissez le champ périodique vide (ou ne saisissez rien) et placez les chiffres dans le champ non périodique ; 0,25 devient \(25/100 = 1/4\).
Le calcul fonctionne-t-il avec une partie entière ? Oui. Pour 2,1666…, saisissez 2, « 1 » et « 6 » pour obtenir \(13/6\).
