탄성 충돌이란?
탄성 충돌이란 운동량과 운동에너지가 모두 보존되는 충돌을 말합니다. 열이나 소리, 영구적인 변형으로 빠져나가는 에너지가 없는 이상적인 충돌이죠. 현실에서 이에 가까운 예로는 당구공끼리의 충돌, 원자·분자 단위의 충돌, 그리고 물리 문제에서 다루는 이상화된 상황 등이 있습니다. 이 계산기는 두 물체의 질량과 초기 속도가 주어졌을 때, 표준적인 1차원 탄성 충돌에서 두 물체의 최종 속도를 구해 줍니다.
사용 방법
각 물체의 질량(\(m_1\), \(m_2\))과 운동 방향을 따라 측정한 초기 속도(\(v_1\), \(v_2\))를 입력하세요. 한쪽 방향으로의 움직임은 양수로, 반대 방향은 음수로 표시하면 됩니다. 입력하면 충돌 직후 두 물체의 속도와 함께 총 운동량, 총 운동에너지가 함께 계산됩니다. 이 두 값은 충돌 전과 후가 동일하게 유지되어야 합니다.
공식 풀이
1차원 탄성 충돌에서는 운동량 보존과 운동에너지 보존 방정식을 연립해서 풀면 다음과 같은 닫힌 형태의 해를 얻을 수 있습니다.
$$v_1' = \frac{(m_1 - m_2)v_1 + 2 m_2 v_2}{m_1 + m_2}$$$$v_2' = \frac{(m_2 - m_1)v_2 + 2 m_1 v_1}{m_1 + m_2}$$두 식이 대칭을 이루는 점에 주목하세요. 두 물체의 번호를 맞바꾸면 두 공식도 그대로 맞바뀝니다. 그리고 두 물체의 질량이 같으면, 충돌 후 두 물체는 속도를 서로 맞교환하게 됩니다.
계산 예시
질량 \(m_1 = 2 \text{ kg}\)인 물체가 \(v_1 = 5 \text{ m/s}\)로 움직이다가, \(v_2 = -2 \text{ m/s}\)로 움직이는 \(m_2 = 3 \text{ kg}\) 물체와 부딪혔다고 해 봅시다. 그러면 $$v_1' = \frac{(2-3)(5) + 2 \times 3 \times (-2)}{2+3} = \frac{-5 - 12}{5} = -3.4 \text{ m/s},$$ $$v_2' = \frac{(3-2)(-2) + 2 \times 2 \times 5}{5} = \frac{-2 + 20}{5} = 3.6 \text{ m/s}$$가 됩니다. 총 운동량은 \(2 \times 5 + 3 \times (-2) = 4 \text{ kg}\cdot\text{m/s}\)로, 충돌 전후가 동일하게 유지됩니다.
자주 묻는 질문
두 물체의 질량이 같으면 어떻게 되나요? 두 물체가 속도를 정확히 서로 맞교환합니다.
비탄성 충돌과는 무엇이 다른가요? 비탄성 충돌에서는 운동에너지가 보존되지 않고 일부가 손실되므로, 위 공식을 그대로 적용할 수 없습니다.
방향도 중요한가요? 네. 이 모델은 부호가 있는 1차원 모델입니다. 반대 방향으로 움직이는 물체는 속도를 음수로 입력하세요.
