이 계산기로 무엇을 할 수 있나요
이 도구는 초등 수학의 단골 문제인 '농도 문제'(일본 초등 수학에서는 노도잔(濃度算)이라 부릅니다)를 풀어줍니다. 즉, 이미 만들어진 소금물에 순수 소금을 더 넣어 농도를 진하게 만드는 상황입니다. 처음 소금물의 질량과 질량 백분율 농도, 그리고 도달하고 싶은 목표 농도를 입력하면, 정확히 몇 그램의 순수 소금을 넣어야 하는지 알려주고 최종 소금물의 전체 질량과 소금량까지 보여줍니다. 용질의 질량 백분율 농도라는 화학 원리는 어디서나 동일하게 적용되므로, 결과는 전 세계 어디서든 유효합니다. 일본식 명칭에서 비롯된 항목 이름만 한국어로 옮긴 것뿐입니다.
사용 방법
소금물 A의 질량(g), 현재 농도(%), 그리고 최종 소금물 C에서 도달하고 싶은 목표 농도를 입력하세요. 목표 농도는 처음 농도보다 높아야 하며(소금을 넣어 농도를 높이는 것만 가능합니다) 100% 미만이어야 합니다. 계산 버튼을 누르면 추가해야 할 소금량이 표시됩니다.
공식 풀이
A에 이미 들어 있는 소금은 \(S_A = A \times p_A/100\) 입니다. 최종 혼합물은 \((S_A + B) / (A + B) = p_C/100\) 을 만족해야 합니다. 추가하는 소금 B에 대해 풀면 다음과 같이 됩니다.
$$B = S_A \times \left(\frac{p_C}{p_A} - 1\right) \Big/ \left(1 - \frac{p_C}{100}\right)$$최종 질량은 \(A + B\), 최종 소금량은 \(S_A + B\) 입니다.
계산 예시
10% 소금물 200g에서 시작해 20%를 목표로 한다고 해봅시다. A 속 소금 = \(200 \times 0.10 = 20\)g. 추가할 소금:
$$20 \times \left(\frac{20}{10} - 1\right) \Big/ (1 - 0.20) = 20 \times 1 \big/ 0.8 = 25\ \text{g}$$최종 질량 = \(200 + 25 = 225\)g, 최종 소금량 = \(20 + 25 = 45\)g. 검산: \(45 / 225 = 0.20 = 20\%\).
자주 묻는 질문
왜 목표 농도가 현재 농도보다 높아야 하나요? 순수 소금을 넣으면 농도는 올라가기만 합니다. 농도를 낮추려면 소금 대신 물을 넣어야 하는데, 이 도구는 그 기능은 제공하지 않습니다.
왜 100%에는 도달할 수 없나요? 유한한 양의 소금물에 소금을 아무리 넣어도 100%에 가까워질 수는 있지만 결코 도달하지는 못합니다. 공식이 \((1 - p_C/100)\)으로 나누는데, 100%에서는 이 값이 0이 되어 답이 무한대가 되기 때문입니다.
처음 농도가 0%이면 어떻게 되나요? 순수한 물에는 소금이 없으므로 \(p_C/p_A\) 비율이 정의되지 않습니다. 이 도구는 이런 경우를 방지하도록 설계되어 있습니다.
