Калькулятор значений синуса, косинуса и тангенса особых углов

Введите расчет

Особый угол 0° 30° 45° 60° 90°

Результатов

Угол

30°

Тригонометрические значения

Функция	Значение
sin(30°)	0,5
cos(30°)	0,866025
tan(30°)	0,57735

Что считает этот калькулятор

Инструмент выдаёт синус, косинус и тангенс пяти «особых» углов, которые чаще всего встречаются в тригонометрии: 0°, 30°, 45°, 60° и 90°. У этих углов аккуратные точные значения — например, \(\sin 30° = \frac{1}{2}\) и \(\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\), — поэтому их заучивают наизусть и школьники, и студенты, и инженеры. Выберите угол и сразу увидите всю его тригонометрическую строку в десятичном виде.

Опорные треугольники 30-60-90 и 45-45-90 дают точные соотношения, лежащие в основе каждого тригонометрического значения.

Как пользоваться

Выберите один из пяти особых углов в выпадающем списке и нажмите кнопку. Калькулятор переведёт угол в радианы, вычислит sin, cos и tg и оформит их в виде компактной таблицы. При 90° косинус равен 0, поэтому тангенс не определён — инструмент так и подпишет это значение, а не покажет вводящее в заблуждение огромное число.

Разбор формулы

Тригонометрические функции на компьютере работают с радианами, поэтому угол в градусах сначала умножается на \(\frac{\pi}{180}\). Затем напрямую вычисляются \(\sin\theta\) и \(\cos\theta\), а \(\tan\theta\) — это просто \(\sin\theta\), делённый на \(\cos\theta\).

$$\theta = \text{Угол (град)} \times \frac{\pi}{180}$$$$\sin\theta, \quad \cos\theta, \quad \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$

Знаменитые точные значения берутся из единичной окружности и из опорных треугольников 30-60-90 и 45-45-90: \(\sin 30° = \frac{1}{2} \approx 0{,}5\), \(\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}7071\), \(\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}8660\).

Реклама

Единичная окружность показывает, как синус и косинус возникают в виде координат при особых углах 30°, 45° и 60°.

Пример расчёта

Для 60°: радианы $$= 60 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \approx 1{,}0472.$$ Тогда $$\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866025, \quad \cos 60° = \frac{1}{2} = 0{,}5,$$ а $$\tan 60° = \frac{0{,}866025}{0{,}5} = \sqrt{3} \approx 1{,}732051.$$ Это в точности совпадает со стандартной таблицей особых углов.

Частые вопросы

Почему tg 90° не определён? Потому что \(\cos 90° = 0\), а деление на ноль не определено; при приближении угла к 90° тангенс неограниченно растёт.

Точны ли десятичные значения? Такие значения, как 0,5 и 1, точны; иррациональные — например, \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) — показаны округлёнными до шести знаков после запятой.

Можно ли посчитать другие углы? Этот калькулятор рассчитан на пять классических особых углов — именно их чаще всего требуется знать наизусть.