ما هي دالة الإنتاج كوب-دوغلاس؟
تُعدّ دالة الإنتاج كوب-دوغلاس من النماذج الأساسية في علم الاقتصاد، إذ تربط ناتج المنشأة أو الاقتصاد بمدخلين رئيسيين هما: العمل ورأس المال. وقد طوّرها الاقتصاديان تشارلز كوب وبول دوغلاس عام 1928، وتُعبّر عن الناتج بالصيغة \(Y = \text{A} \cdot \text{L}^{\,\beta} \cdot \text{K}^{\,\alpha}\)، حيث يمثّل A الإنتاجية الكلية للعوامل (التكنولوجيا)، وL العمل، وK رأس المال، وβ مرونة الناتج بالنسبة للعمل، وα مرونة الناتج بالنسبة لرأس المال.
$$Y = \text{A} \cdot \text{L}^{\,\beta} \cdot \text{K}^{\,\alpha}$$
كيفية استخدام الحاسبة
أدخِل الإنتاجية الكلية للعوامل (A)، ومُدخَل العمل (L)، ومُدخَل رأس المال (K)، ثم الأُسّين الخاصين بالمرونة (β للعمل، وα لرأس المال). ترفع الحاسبة كلًّا من العمل ورأس المال إلى الأُس المقابل له، ثم تضربهما معًا في A لتُعطيك الناتج الكلي Y. كما تعرض حدّ العمل وحدّ رأس المال إلى جانب عوائد الحجم (\(\alpha + \beta\)).
شرح الصيغة الرياضية
يقيس الأُسّ الخاص بكل مُدخَل مدى استجابة الناتج لأي تغيُّر في ذلك المُدخَل. فإذا كان \(\alpha + \beta = 1\)، تكون الدالة ذات عوائد ثابتة للحجم — أي إن مضاعفة المدخلين معًا تؤدي إلى مضاعفة الناتج. أما إذا تجاوز المجموع 1 فإن العوائد تكون متزايدة، وإذا قلّ عن 1 كانت العوائد متناقصة. وتعمل الإنتاجية الكلية للعوامل A على تحجيم الدالة بأكملها، إذ تعكس مكاسب التكنولوجيا والكفاءة.
مثال تطبيقي
لنفترض أن \(A = 1\)، وL = 100، وK = 50، وβ = 0.7، وα = 0.3 (عوائد ثابتة للحجم). عندئذٍ يكون \(\text{L}^{0.7} = 25.1189\) و\(\text{K}^{0.3} = 3.2336\). ويصبح الناتج $$Y = 1 \times 25.1189 \times 3.2336 \approx 81.23 \text{ وحدة}$$
الأسئلة الشائعة
ماذا تمثّل الإنتاجية الكلية للعوامل (A)؟ تشمل كل ما يؤثّر في الناتج بخلاف العمل ورأس المال — من تكنولوجيا وإدارة وكفاءة.
هل يجب أن يساوي مجموع α وβ القيمة 1؟ لا. لا يساوي مجموعهما 1 إلا في حالة العوائد الثابتة للحجم؛ ويمكنك إدخال أي قيم موجبة لنمذجة العوائد المتزايدة أو المتناقصة.
هل يمكنني استخدامها على مستوى اقتصاد وطني؟ نعم. تُستخدم الصيغة نفسها على نطاق واسع في الاقتصاد الكلي مع المخزون الإجمالي للعمل ورأس المال.
