ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة المساحة السطحية لأحد عشر جسمًا مجسمًا شائعًا في الفراغ ثلاثي الأبعاد، وهي: الكرة والمكعب والأسطوانة والمخروط والمخروط الناقص والهرم المربع والمنشور المستطيل (متوازي المستطيلات) والمنشور الثلاثي ونصف الكرة والكبسولة والقُبّة الكروية. يعرض البرنامج لكل شكل المساحة السطحية الكلية، وكذلك — حيثما كانت معرَّفة بشكل منفصل — المساحة السطحية الجانبية ومساحة القاعدة السفلية. تُدخَل كل القياسات بوحدة طول واحدة تختارها، وتظهر النتائج بمربع تلك الوحدة نفسها.
طريقة الاستخدام
اختر الشكل من القائمة المنسدلة، ثم أدخِل الأبعاد المطلوبة لذلك الشكل، واختر وحدة الطول (كم، م، سم، مم، ميل، ياردة، قدم، بوصة)، وحدِّد عدد الأرقام المعنوية المراد التقريب إليها (أو اختر "تلقائي" للحصول على الدقة الكاملة). وبما أن جميع الأطوال لشكل معين تستخدم الوحدة ذاتها، فإن المساحات تظهر مباشرةً بمربع تلك الوحدة دون الحاجة إلى أي تحويل.
القانون الرياضي
تتكوّن المساحة السطحية من القاعدة والأوجه الجانبية المحيطة بها، لذا بصفة عامة نكتب $$S_{\text{الكلية}} = S_{\text{الجانبية}} + S_{\text{القاعدة}}$$ وفي الأجسام المنحنية يدخل الثابت \(\pi\) في حساب الجزء الجانبي. فمثلًا المخروط الذي نصف قطره \(r\) وارتفاعه \(h\) له طول مائل \(l = \sqrt{r^2 + h^2}\)، ومساحته الجانبية \(\pi r l\) ومساحة قاعدته \(\pi r^2\). أما الكرة فلها سطح مغلق واحد فقط مقداره \(4\pi r^2\) ولا قاعدة منفصلة لها. ويعتمد المنشور الثلاثي على قانون هيرون لحساب مساحة وجهيه المثلثين.
مثال محلول
هرم مربع طول ضلع قاعدته \(a = 5\) سم وارتفاعه \(h = 8\) سم. يكون الارتفاع المائل للوجه $$l = \sqrt{8^2 + 2.5^2} = \sqrt{70.25} = 8.38153$$ مساحة القاعدة \(S_{\text{القاعدة}} = 25\) سم\(^2\). المساحة الجانبية $$S_{\text{الجانبية}} = 2 \cdot 5 \cdot 8.38153 = 83.8153 \text{ سم}^2$$ والمساحة الكلية $$S_{\text{الكلية}} = 25 + 83.8153 = 108.815 \text{ سم}^2$$
الأسئلة الشائعة
ما المقصود بالمساحة السطحية الجانبية؟ هي مساحة الأوجه الجانبية فقط، دون احتساب القاعدتين العلوية والسفلية.
لماذا لا تظهر للكرة مساحة قاعدة؟ لأن الكرة سطح مغلق واحد لا قاعدة مسطحة له، فلا يكون ذا معنى سوى المساحة الكلية. وينطبق الأمر نفسه على السطح المنحني للكبسولة.
ماذا يحدث إذا كانت أضلاع المثلث غير صالحة؟ يجب أن تحقق أضلاع قاعدة المنشور الثلاثي الثلاثة متباينة المثلث (أن يكون كل ضلع أصغر من مجموع الضلعين الآخرين)؛ وإلا فلن يوجد مثلث حقيقي، وتُظهر الحاسبة رسالة خطأ.
